Zbiór domknięty w encyklopedii
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwaniaZbiór domknięty – zbiór, którego dopełnienie jest zbiorem otwartym. Niektóre zbiory domknięte są jednocześnie zbiorami otwartymi czyli są zbiorami zbiorami otwarto-domkniętymi.
Przykłady | edytuj kod
- Na prostej z metryką euklidesową przykładami zbiorów domkniętych są:
- przedziały domknięte,
- zbiory jednoelementowe,
- zbiory skończone,
- zbiór Cantora.
- W dowolnej przestrzeni topologicznej zbiorami domkniętymi są zbiór pusty oraz cała przestrzeń, przy czym
- w przestrzeni antydyskretnej są to jedyne zbiory domknięte,
- w przestrzeni dyskretnej każdy inny podzbiór także jest zbiorem domkniętym.
Własności | edytuj kod
- Skończona suma zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
- Dowolny iloczyn zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
- W przestrzeni metrycznej zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu zbieżnego elementów z jego granica również należy do .
- W przestrzeni euklidesowej jeżeli zbiór domknięty jest dodatkowo ograniczony, to jest zwarty.
