Wnętrze (matematyka)


Wnętrze (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Punkt W jest punktem wewnętrznym figury.

Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru F oznaczamy Int(F), int(F) lub F°. Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

Spis treści

Własności | edytuj kod

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

  1. Wnętrze zbioru F jest otwartym podzbiorem F.
  2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów F.
  3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w F.
  4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
  5. Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu: int(int(S)) = int(S).
  6. Jeżeli S jest podzbiorem F, to int(S) jest podzbiorem int(F): SF ⇒ int(S) ⊆ int(F) .
  7. Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów: int(SF) = int(S) ∩ int(F)
  8. Jeżeli S jest zbiorem otwartym, to S jest podzbiorem F wtedy i tylko wtedy, gdy S jest podzbiorem int(F).

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.

W przestrzeni metrycznej punkt p zbioru F jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie p całkowicie zawarta w zbiorze F.

Pozostałe własności | edytuj kod

  1. Int A Int B Int ( A B ) {\displaystyle \operatorname {Int} \;A\cup \operatorname {Int} \;B\subset \operatorname {Int} \;(A\cup B)} dla dowolnych zbiorów A X ,   B X {\displaystyle A\subset X,\ B\subset X}
  2. s S Int A s Int ( s S A s ) {\displaystyle \bigcup _{s\in S}\operatorname {Int} \;A_{s}\subset \operatorname {Int} \;\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)} dla dowolnej rodziny zbiorów { A s X : s S } {\displaystyle \{A_{s}\subset X:s\in S\}}
  3. Dla każdego A X {\displaystyle A\subset X} mamy
    Int A = X cl ( X A ) {\displaystyle \operatorname {Int} \;A=X\setminus \operatorname {cl} \;(X\setminus A)}
  4. A X Int A Int cl ( A ) {\displaystyle A\subset X\Rightarrow \operatorname {Int} \;A\subset \operatorname {Int} \;\operatorname {cl} \;(A)}
    przykład:
    Int Q = Int cl ( Q ) = R {\displaystyle \operatorname {Int} \;\mathbb {Q} =\varnothing \subset \operatorname {Int} \;\operatorname {cl} \;(\mathbb {Q} )=\mathbb {R} }

Operacja wnętrza a topologia | edytuj kod

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(X)=X, gdzie X oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze X[1].

Przykłady | edytuj kod

  • W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
  • W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
  • Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
    • wnętrzem przedziału domkniętego a, b jest przedział otwarty (a, b)
    • wnętrzem przedziału a, b) jest przedział (a, b)
    • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
    • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.


Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 37.
Na podstawie artykułu: "Wnętrze (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy