Symetria (przekształcenie)


Symetria figury w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Symetria (przekształcenie)) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

W języku potocznym używa się słów symetria (gr. συμμετρια) oraz symetryczny w odniesieniu do przedmiotu, obrazu itp. składającego się z dwóch części, z których każda jest jakby lustrzanym odbiciem drugiej (w poziomie lub pionie), np. litery A, H, I, M, T, B, C, D, O oraz pary liter pq, bd są symetryczne w tym sensie.

W terminologii matematycznej termin symetria ma znaczenie istotnie szersze. Obejmuje też inne własności figur, np. symetria liter N, S, Z nie jest wprawdzie lustrzana, ale po obrocie o 180º figura wygląda identycznie. Ponadto symetrie w matematyce są ujmowane jako pewnego typu przekształcenia figur geometrycznych. Do symetrii zalicza się obroty o wielokrotności danego kąta (np. o 30º, 60º, 90º,…) oraz wielkie bogactwo symetrii ornamentów, np. rozet w gotyckich katedrach[1]

Symetria jest to więc właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego obiektu matematycznego (można mówić np. o symetrii równań), polegająca na tym, iż istnieje należące do pewnej zadanej klasy przekształcenie nie będące identycznością, które odwzorowuje dany obiekt na niego samego. Brak takiej właściwości nazywany jest asymetrią. W zależności od klasy dopuszczalnych przekształceń wyróżnia się rozmaite rodzaje symetrii. Tym samym terminem określa się nie tylko obiekty, ale też same przekształcenia.

Spis treści

Najważniejsze typy symetrii geometrycznych | edytuj kod

Dla figur płaskich i przestrzennych w zależności od rodzaju przekształcenia wyróżniana jest m.in.:

  • symetria środkowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem ustalonego punktu zwanego środkiem symetrii. Na płaszczyźnie symetria środkowa jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o prostopadłych osiach (lub obrót o kąt 180 stopni), w przestrzeni jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych o wzajemnie prostopadłych płaszczyznach symetrii.
Symetria osiowa
  • symetria osiowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem zadanej prostej zwanej osią symetrii. Symetria osiowa występuje m.in. w trójkącie Sierpińskiego.
  • symetria płaszczyznowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem płaszczyzny zwanej płaszczyzną symetrii. Symetria płaszczyznowa występuje m.in. w piramidzie Sierpińskiego oraz kostce Mengera.
  • symetria obrotowa (gwiaździsta) – przekształceniem jest na płaszczyźnie obrót figury wokół zadanego punktu o kąt będący podwielokrotnością kąta pełnego, a w przestrzeni wokół zadanej prostej (można wykazać, że musi być to środek masy i prosta przez niego przechodząca).
  • symetria z obrotem (zwierciadlano-obrotowa) – na płaszczyźnie jest to złożenie symetrii względem prostej z obrotem o dowolny kąt wokół zadanego punktu. W przestrzeni jest złożeniem symetrii płaszczyznowej z obrotem wokół osi symetrii (symetria cylindryczna). [Niektóre pozycje książkowe podają, że w przestrzeni oś obrotu musi być prostopadła do płaszczyzny symetrii.]
  • symetria sferyczna – przekształceniem jest dowolny obrót bryły wokół zadanego punktu. Własność tę posiada m.in. kula.
  • symetria parzysta – złożenie parzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni). Przykładem jest symetria środkowa (złożenie dwóch prostopadłych osi symetrii).
  • symetria nieparzysta – złożenie nieparzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni).
  • symetria ukośna – uogólnienie symetrii osiowej. Jeśli dane są dwie proste k i m przecinające się pod kątem α, oraz dany jest odcinek AB, to symetria ukośna względem prostej k, w kierunku prostej m, polega na tym, że przez punkty A i B prowadzimy proste a i b równoległe do prostej m, przecinające prostą k odpowiednio w punktach K1 i K2, i znajdujemy na nich punkty A’ i B’ w taki sposób, że odległość od punktu A do K1 jest równa odległości od punktu K1 do A’ oraz analogicznie |BK2| = |K2B’|.

Wspólne ogólnienie symetrii środkowej, osiowej i płaszczyznowej | edytuj kod

Symetriaprzekształcenie f {\displaystyle f} przestrzeni euklidesowej E na siebie, mające pewną hiperpłaszczyznę H punktów stałych i spełniające warunek:

jeśli x H {\displaystyle x\notin H} oraz x = f ( x ) {\displaystyle x'=f(x)\,} , to prosta x x {\displaystyle xx'\,} jest prostopadła do hiperpłaszczyzny H oraz przecina tę hiperpłaszczyznę w połowie odcinka x x {\displaystyle xx'\,} .

W zależności od wymiaru hiperpłaszczyzny H otrzymujemy trzy osobno określone wyżej pojęcia:

  • symetria środkowa (wówczas H jest punktem),
  • symetria osiowa (H jest prostą),
  • symetria płaszczyznowa (H jest płaszczyzną).

Przykłady | edytuj kod

Grupa symetrii kwadratu składa się z czterech obrotów o kąty 90º, 180º, 270º i o kąt 0º (czyli przekształcenie tożsamościowe) oraz czterech symetrii osiowych (względem osi poziomej, pionowej i dwóch przekątnych). Złożenie dowolnych dwóch z tych ośmiu przekształceń też należy do tej grupy, ale wynik złożenia zależy od kolejności wykonywania tych przekształceń, tzn. działanie składania ich nie jest przemienne, więc grupa symetrii kwadratu jest nieprzemienna[2].

W ogólnym ujęciu "symetryczność" może odnosić się także do obiektów niegeometrycznych, jak np. równania, czy macierze i dotyczyć innych własności niż relacje usytuowania w przestrzeni.

Przykłady: liczby palindromiczne, niektóre kwadraty magiczne, trójkąt Pascala, bliźniacze krzyżówki tautogramowe.

Poniższa macierz jest symetryczna (względem głównej przekątnej):

2 1 3 1 6 7 3 7 9 . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.} Trójkąt Sierpińskiego

Zbliżonym do symetrii pojęciem jest "samopodobieństwo", które zakłada istnienie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia części zbioru na cały zbiór. Najprostszy przykład to odwzorowanie zbioru liczb parzystych (dodatnich) w zbiór liczb naturalnych x 1 2 x {\displaystyle x\to {\frac {1}{2}}x} . Własność tę jednak mają również bardzo złożone zbiory, np. trójkąt Sierpińskiego, dywan Sierpińskiego i inne fraktale.

Przypisy | edytuj kod

  1. S. Jaśkowski, Matematyka ornamentu, PWN, Warszawa 1957; H. Weyl, Symetria, PWN, Warszawa 1960.
  2. G. Birkhoff, S. Mac Lane Przegląd algebry współczesnej, 1963, s. 130-156.

Bibliografia | edytuj kod

  • Stanisław Jaśkowski, Matematyka ornamentu, PWN, Warszawa 1957.
  • Hermann Weyl, Symetria, PWN, Warszawa 1960.
  • G. Birkhoff, S. Mac Lane, Przegląd algebry współczesnej, Wyd. 2, Warszawa, PWN 1963.
  • Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2000.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Symetria (przekształcenie)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy