Suma zbiorów


Suma zbiorów w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Suma zbiorów (rzadko: unia zbiorów) – działanie algebry zbiorów.

Spis treści

Definicje formalne | edytuj kod

Suma zbiorów A i B

Sumą zbiorów nazywa się zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów (i niezawierający innych elementów)[1][2][3].

Suma zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} jest oznaczana symbolem A B {\displaystyle A\cup B} (rzadziej A + B {\displaystyle A+B} [3]). Tak więc:

x ( A B ) ( x A ) ( x B ) {\displaystyle x\in (A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A)\lor (x\in B)} [1][2][3],

co można równoważnie zapisać jako

A B = { x Ω : x A x B } {\displaystyle A\cup B=\{x\in \Omega \colon x\in A\vee x\in B\}} [4][5],

gdzie A , B Ω {\displaystyle A,B\subset \textstyle {\Omega }} i Ω {\displaystyle \textstyle {\Omega }} jest zbiorem wszystkich rozważanych obiektów zwanym przestrzenią[6][7] lub uniwersum[8].

Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} to

A = { x Ω : ( A A ) ( x A ) } {\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}=\{x\in \Omega \colon (\exists A\in {\mathfrak {A}})(x\in A)\}} [9].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów ( A i ) i I {\displaystyle (A_{i})_{i\in I}} definiujemy

i I A i = { a Ω : ( i I ) ( a A i ) } , {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\{a\in \Omega \colon (\exists i\in I)(a\in A_{i})\},}

co jest równoważne

a i I A i i I ( a A i ) {\displaystyle a\in \bigcup _{i\in I}A_{i}\Leftrightarrow \exists i\in I\,(a\in A_{i})} [10][11].

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zostać zredukowane do drugich, np. i I A i = { A i : i I } , {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup \{A_{i}\colon i\in I\},} a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.

Przykłady | edytuj kod

  • Niech Q {\displaystyle \mathbb {Q} } będzie zbiorem liczb wymiernych a I Q {\displaystyle {\mathbb {I} }{\mathbb {Q} }} niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas Q I Q {\displaystyle {\mathbb {Q} }\cup {\mathbb {I} }{\mathbb {Q} }} jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, tzn. Q I Q = R {\displaystyle {\mathbb {Q} }\cup {\mathbb {I} }{\mathbb {Q} }={\mathbb {R} }} [1].
  • ( 0 , 2 ) 1 , 3 = ( 0 , 3 , {\displaystyle (0,2)\cup [1,3]=(0,3],}
  • n N ( 1 , 2 1 n + 1 ) = ( 1 , 2 ) {\displaystyle \bigcup \limits _{n\in {\mathbb {N} }}(1,2-{\frac {1}{n+1}})=(1,2)}
  • Niech A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawartych w odcinku 2 , 5 ) . {\displaystyle [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}).} Wówczas
A = ( 2 , 5 ) . {\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}=({\sqrt {2}},{\sqrt {5}}).}

Poprawność definicji sumy zbiorów | edytuj kod

W powyższej definicji zakłada się, że dodawane zbiory są podzbiorami pewnego zbioru Ω zwanego przestrzenią. Definicja sumy dwóch zbiorów jest więc pewnym dwuargumentowym działaniem określonym na zbiorze potęgowym pewnego ustalonego zbioru Ω : {\displaystyle \Omega {:}}

: P ( Ω ) × P ( Ω ) P ( Ω ) . {\displaystyle \cup \colon {\mathcal {P}}(\Omega )\times {\mathcal {P}}(\Omega ){\mathcal {\to }}{\mathcal {P}}(\Omega ).}

Poprawność zdefiniowanego działania tj. istnienie jednoznacznego wyniku dla dowolnych dwóch argumentów wynika np. z aksjomatu podzbiorów.

Takie rozumienie definicji sumy wzmacniają Diagramy Venna, w których zbiory obrazowane są owalami rozgraniczającymi elementy przestrzeni Ω na te, które należą do danego zbioru, od tych, które do niego nie należą.

Opuszczenie warunku, aby dodawane zbiory były podzbiorami pewnego wspólnego zbioru, prowadzi do poważnych problemów teoriomnogościowych. Dodawanie zbiorów byłoby wówczas dwuargumentowym działaniem określonym na zbiorze wszystkich zbiorów, co oznacza odwołanie się do nieistniejącego obiektu (patrz paradoks zbioru wszystkich zbiorów). Z kolei definicja postaci A B = { x : x A x B } {\displaystyle A\cup B=\{x\colon x\in A\vee x\in B\}} jest konstruowaniem zbioru poprzez podanie formuły, którą muszą spełniać jego elementy, co jest metodą, której należy unikać aksjomatycznej teorii mnogości. Ostatecznie oznacza to nieistnienie dwuargumentowego działania dodawania zbiorów, o których nie ma dodatkowych założeń, a dla stwierdzenia istnienia sumy dwóch danych zbiorów należy powołać na aksjomat sumy.

Własności | edytuj kod

Operacje skończone | edytuj kod

Dla dowolnych zbiorów A , B , C {\displaystyle A,B,C} zachodzą następujące równości:

  • = {\displaystyle \bigcup \varnothing =\varnothing }
  • { A } = A = A A {\displaystyle \bigcup \{A\}=A=A\cup A} [12]     (idempotentność)
  • { A , B } = A B {\displaystyle \bigcup \{A,B\}=A\cup B}
  • A = A {\displaystyle \varnothing \cup A=A} [12]     (zbiór pusty jest elementem neutralnym sumowania zbiorów)
  • ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)} [12]     (łączność)
  • A B = B A {\displaystyle A\cup B=B\cup A} [12]     (przemienność)
  • ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) {\displaystyle (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)} oraz ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) {\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)} [13]     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego)
  • C ( A B ) = ( C A ) ( C B ) {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)} oraz C ( A B ) = ( C A ) ( C B ) {\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)} [14]     (prawo De Morgana).

Ponadto:

  • A B {\displaystyle A\subseteq B} wtedy i tylko wtedy, gdy A B = B . {\displaystyle A\cup B=B.}
  • Niech U {\displaystyle U} będzie niepustym zbiorem a P ( U ) {\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathbf {U} })} niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru U . {\displaystyle U.} Wówczas
( P ( U ) , , , , , U ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}({\mathbf {U} }),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,{\mathbf {U} })} jest zupełną algebrą Boole’a. A B = ( A B ) ˙ ( A ˙ B ) {\displaystyle A\cap B=(A\cup B){\dot {-}}(A{\dot {-}}B)} oraz A B = A ˙ ( A B ) {\displaystyle A\setminus B=A{\dot {-}}(A\cap B)}

Operacje nieskończone | edytuj kod

Własności sumy skończenie wielu zbiorów uogólniają się na sumę rodzin indeksowanych zbiorów. Niech { A i : i I } , {\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\},} { B i : i I } {\displaystyle \{B_{i}\colon i\in I\}} oraz { C j , k : j J     k K } {\displaystyle \{C_{j,k}\colon j\in J\ \wedge \ k\in K\}} będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech D {\displaystyle D} będzie zbiorem. Wówczas

  • i I ( A i B i ) = i I A i i I B i {\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}(A_{i}\cup B_{i})=\bigcup \limits _{i\in I}A_{i}\cup \bigcup \limits _{i\in I}B_{i}}
  • i I ( A i B i ) i I A i i I B i {\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}(A_{i}\cap B_{i})\subseteq \bigcup \limits _{i\in I}A_{i}\cap \bigcup \limits _{i\in I}B_{i}}
  • D i I A i = i I ( A i D ) {\displaystyle D\cap \bigcup \limits _{i\in I}A_{i}=\bigcup \limits _{i\in I}(A_{i}\cap D)}
  • D i I A i = i I ( A i D ) {\displaystyle D\cup \bigcup \limits _{i\in I}A_{i}=\bigcup \limits _{i\in I}(A_{i}\cup D)}
  • D i I A i = i I D A i {\displaystyle D\setminus \bigcup \limits _{i\in I}A_{i}=\bigcap \limits _{i\in I}D\setminus A_{i}}
  • j J k K C j , k = k K j J C j , k {\displaystyle \bigcup \limits _{j\in J}\bigcup \limits _{k\in K}C_{j,k}=\bigcup \limits _{k\in K}\bigcup \limits _{j\in J}C_{j,k}}
  • j J k K C j , k k K j J C j , k {\displaystyle \bigcup \limits _{j\in J}\bigcap \limits _{k\in K}C_{j,k}\subseteq \bigcap \limits _{k\in K}\bigcup \limits _{j\in J}C_{j,k}}

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę. Niech A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} będzie rodziną zbiorów. Wówczas

( A ) = { A : A A } . {\displaystyle \bigcup (\bigcup {\mathfrak {A}})=\bigcup \{\bigcup A\colon A\in {\mathfrak {A}}\}.}

Na przykład niech A = { A 1 , A 2 } , {\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}\},} gdzie A 1 = { A 1 , A 2 } {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{A_{1},A_{2}\}} oraz A 2 = { A 3 , A 4 } . {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}=\{A_{3},A_{4}\}.} Wtedy z jednej strony:

( A ) = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } = A 1 A 2 A 3 A 4 , {\displaystyle \bigcup (\bigcup {\mathfrak {A}})=\bigcup \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4},}

a z drugiej

{ A : A A } = { A 1 A 2 , A 3 A 4 } = A 1 A 2 A 3 A 4 . {\displaystyle \bigcup \{\bigcup A\colon A\in {\mathfrak {A}}\}=\bigcup \{A_{1}\cup A_{2},A_{3}\cup A_{4}\}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}.}

Suma a obrazy i przeciwobrazy | edytuj kod

Dla dowolnej funkcji f : X Y , {\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y,} dla dowolnej rodziny indeksowanej { A i : i I } {\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}} podzbiorów zbioru X , {\displaystyle X,} oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej { B j : j J } {\displaystyle \{B_{j}\colon j\in J\}} podzbiorów zbioru Y , {\displaystyle Y,} prawdziwe są następujące dwa stwierdzenia:

  • f 1 ( j J B j ) = j J f 1 ( B j ) {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup \limits _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcup \limits _{j\in J}f^{-1}(B_{j})} (inaczej mówiąc, przeciwobraz sumy jest sumą przeciwobrazów);
  • f ( i I A i ) = i I f ( A i ) {\displaystyle f\left(\bigcup \limits _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}f(A_{i})} (czyli obraz sumy jest sumą obrazów).

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 12.
  2. a b Kuratowski 1980 ↓, s. 20.
  3. a b c Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 6.
  4. Leitner 1999 ↓, s. 38.
  5. Ross i Wright 1996 ↓, s. 25.
  6. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 18.
  7. Rasiowa 1975 ↓, s. 21.
  8. Ross i Wright 1996 ↓, s. 27.
  9. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 44.
  10. Rasiowa 1975 ↓, s. 52.
  11. Kuratowski 1980 ↓, s. 43.
  12. a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 13.
  13. Rasiowa 1975 ↓, s. 17.
  14. Rasiowa 1975 ↓, s. 19.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Suma zbiorów" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy