Styczna


Styczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Konstrukcja stycznej do krzywej

Prosta styczna s {\displaystyle s} do krzywej K {\displaystyle K} w punkcie P {\displaystyle P} – prosta, która jest granicznym położeniem siecznych s k {\displaystyle s_{k}} przechodzących przez punkty P {\displaystyle P} i P k , {\displaystyle P_{k},} gdy punkt P k {\displaystyle P_{k}} dąży (zbliża się) do punktu P {\displaystyle P} po krzywej K . {\displaystyle K.}

Niech punkt Q {\displaystyle Q} będzie rzutem punktu P {\displaystyle P} na oś x {\displaystyle x} i niech styczna s {\displaystyle s} przecina oś x {\displaystyle x} w punkcie R {\displaystyle R} zaś prosta n {\displaystyle n} będąca normalną do krzywej K {\displaystyle K} przecina oś x {\displaystyle x} w punkcie T . {\displaystyle T.} Odcinek skierowany R Q {\displaystyle RQ} nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany | Q T | {\displaystyle |QT|} podnormalną. Długość | P R | {\displaystyle |PR|} nazywa się długością stycznej zaś | P T | {\displaystyle |PT|} – długością normalnej.

Jeśli krzywa K {\displaystyle K} określona jest w pewnym przedziale a , b {\displaystyle [a,b]} funkcją y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} ciągłą, która ma w tym przedziale określoną pierwszą pochodną f , {\displaystyle f^{\prime },} to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały P ( x 0 , y 0 ) , {\displaystyle P(x_{0},y_{0}),} gdzie y 0 = f ( x 0 ) {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})} oraz punkt zmienny P ( x k , y k ) , {\displaystyle P(x_{k},y_{k}),} gdzie y k = f ( x k ) {\displaystyle y_{k}=f(x_{k})} ma postać:

y y 0 = y k y 0 x k x 0 ( x x 0 ) . {\displaystyle y-y_{0}={\frac {y_{k}-y_{0}}{x_{k}-x_{0}}}(x-x_{0}).}

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P(x_{0},y_{0})} ma postać:

y y 0 = f ( x 0 ) ( x x 0 ) . {\displaystyle y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0}).}

Wówczas odcięte punktów Q , R {\displaystyle Q,R} i T {\displaystyle T} są odpowiednio równe: x 0 ,   x 0 y 0 f ( x 0 ) ,   x 0 + y 0 f ( x 0 ) . {\displaystyle x_{0},\ x_{0}-{\frac {y_{0}}{f'(x_{0})}},\ x_{0}+y_{0}f'(x_{0}).}

Długość stycznej określa wówczas wzór: | P R | = | y 0 f ( x 0 ) | 1 + ( f ( x 0 ) ) 2 {\displaystyle |PR|=\left|{\frac {y_{0}}{f'(x_{0})}}\right|{\sqrt {1+(f'(x_{0}))^{2}}}} zaś długość normalnej: | P T | = | y 0 | 1 + ( f ( x 0 ) ) 2 : {\displaystyle |PT|=\left|y_{0}\right|{\sqrt {1+(f'(x_{0}))^{2}}}{:}}

  • podstyczna: | R Q | = | y 0 f ( x 0 ) | , {\displaystyle |RQ|=\left|{\frac {y_{0}}{f'(x_{0})}}\right|,}
  • podnormalna: | Q T | = | y 0 f ( x 0 ) | . {\displaystyle |QT|=\left|y_{0}f'(x_{0})\right|.}

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni w danym punkcie. Wystarczy wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą dany punkt.

Spis treści

Styczna do okręgu | edytuj kod

W przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, definicja stycznej upraszcza się do postaci: styczna do okręgu jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem. Konstruuje się ją jako prostą prostopadłą do promienia o końcu w punkcie styczności.

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu | edytuj kod

(również znane jako najmocniejsze twierdzenie geometrii[1][2][3])

Niech punkty B {\displaystyle B} i C {\displaystyle C} będą punktami styczności do okręgu o {\displaystyle o} dwóch prostych przecinających się w punkcie A . {\displaystyle A.} Wówczas | A B | = | A C | . {\displaystyle |AB|=|AC|.}

Odcinki AB i AC są równe

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód (dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa π , {\displaystyle \pi ,} kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. 1d. O Najmocniejszym Twierdzeniu Geometrii - II Lic, maturzyści | MiNI Akademia Matematyki, akademia.mini.pw.edu.pl [dostęp 2017-11-26]  (pol.).
  2. http://www.sem.edu.pl/materialy/delta/1010k21.pdf.
  3. Serwis Biura Edukacji m.st. Warszawy.
Na podstawie artykułu: "Styczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy