Sieczna


Sieczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Sieczna S {\displaystyle S} przecina krzywą K {\displaystyle K} w punktach P , Q {\displaystyle P,Q}

Siecznaprosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach. Odcinek siecznej ograniczony punktami przecięcia z krzywą nazywa się cięciwą tej krzywej.

Spis treści

Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt | edytuj kod

Dla danego punktu P {\displaystyle P} i okręgu o , {\displaystyle o,} dla każdej siecznej przechodzącej przez P {\displaystyle P} i przecinającej o {\displaystyle o} w punktach A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} wartość wyrażenia | P A | | P B | {\displaystyle |PA|\cdot |PB|} jest ta sama. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych.

Dowód | edytuj kod

Dla P {\displaystyle P} na zewnątrz okręgu | edytuj kod

Poprowadźmy z punktu P {\displaystyle P} styczną i sieczną okręgu o . {\displaystyle o.} Punkt styczności nazwijmy T , {\displaystyle T,} a punkty przecięcia z sieczną A {\displaystyle A} i B , {\displaystyle B,} gdzie | P A | < | P B | . {\displaystyle |PA|<|PB|.} Kąt P B T {\displaystyle PBT} jest kątem wpisanym opartym na cięciwie T A , {\displaystyle TA,} więc przystaje do kąta dopisanego A T P . {\displaystyle ATP.} Trójkąty A T P {\displaystyle ATP} i T B P {\displaystyle TBP} mają wspólny kąt T P B , {\displaystyle TPB,} a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że:

| P T | | P A | = | P B | | P T | . {\displaystyle {\frac {|PT|}{|PA|}}={\frac {|PB|}{|PT|}}.}

Po wymnożeniu obustronnie przez | P A | | P T | {\displaystyle |PA|\cdot |PT|} otrzymujemy

| P T | 2 = | P A | | P B | . {\displaystyle |PT|^{2}=|PA|\cdot |PB|.}

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej | P T | 2 = | P A | | P B | , {\displaystyle |PT|^{2}=|PA|\cdot |PB|,} a | P T | {\displaystyle |PT|} jest stałe, to | P A | | P B | {\displaystyle {|PA|}\cdot |PB|} też musi być stałe, co kończy dowód.

Dla P {\displaystyle P} wewnątrz okręgu | edytuj kod

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne według cechy kk. Stąd:

| A P | | P D | = | C P | | P B | {\displaystyle {\frac {|AP|}{|PD|}}={\frac {|CP|}{|PB|}}} | A P | | P B | = | D P | | P C | {\displaystyle |AP|\cdot |PB|=|DP|\cdot |PC|}

co było do udowodnienia.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Sieczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy