Równoległość


Równoległość w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równoległośćrelacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny[1], odcinki, półproste.

Spis treści

Aksjomaty | edytuj kod

Aksjomat Euklidesa
Jeżeli prosta (transwersalna) t {\displaystyle t} przecina proste a , b {\displaystyle a,b} tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste a , b {\displaystyle a,b} przecinają się.

O takich prostych mówi się, że są nierównoległe i oznacza się a b . {\displaystyle a\nparallel b.} Proste, które nie są nierównoległe, nazywane są równoległymi i oznacza się a b . {\displaystyle a\parallel b.}

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira
Przez dowolny punkt można przeprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z zadaną prostą.

O takiej prostej mówi się, że jest równoległa do zadanej prostej.

Geometria euklidesowa | edytuj kod

 Osobny artykuł: postulat Euklidesa.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowejrównoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

Właściwości | edytuj kod

Równoległość jest relacją równoważności, tzn. jest

zwrotna: a a , {\displaystyle a\parallel a,} symetryczna: a b {\displaystyle a\parallel b\;{}} pociąga b a , {\displaystyle {}\;b\parallel a,} przechodnia: jeśli a b {\displaystyle a\parallel b\;{}} oraz b c , {\displaystyle {}\;b\parallel c,\;{}} to a c . {\displaystyle {}\;a\parallel c.}

Geometria analityczna | edytuj kod

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste na płaszczyźnie kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe rozłączne odpowiadają układowi sprzecznemu, proste pokrywające się układowi nieoznaczonemu. Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

{ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\\[2pt]A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\end{cases}}}

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

| A 1 B 1 A 2 B 2 | = 0 A 1 B 2 = A 2 B 1 . {\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}=0\iff A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}.}

Odległość prostych równoległych | edytuj kod

Odległość prostych równoległychodległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.

Niech l || k. Wówczas l : A x + B y + C 1 {\displaystyle l:Ax+By+C_{1}} i k : A x + B y + C 2 , {\displaystyle k:Ax+By+C_{2},} gdy A 2 + B 2 > 0. {\displaystyle A_{2}+B_{2}>0.} Odległość punktu O {\displaystyle O} od prostej l {\displaystyle l} wyraża się wzorem:

d = | A x 0 + B y 0 + C 1 | A 2 + B 2 . {\displaystyle d={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C_{1}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Ponieważ O k , {\displaystyle O\in k,} to A x 0 + B y 0 + C 2 = 0 , {\displaystyle Ax_{0}+By_{0}+C_{2}=0,} więc A x 0 + B y 0 = C 2 . {\displaystyle Ax_{0}+By_{0}=-C_{2}.}

Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać:

d = | C 1 C 2 | A 2 + B 2 . {\displaystyle d={\frac {|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej: l : y = m x + n 1 , {\displaystyle l:y=mx+n_{1},} k : y = m x + n 2 , {\displaystyle k:y=mx+n_{2},}

to wzór przybierze postać:

d = | n 1 n 2 | 1 + m 2 . {\displaystyle d={\frac {|n_{1}-n_{2}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.}

Geometrie nieeuklidesowe | edytuj kod

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Równoległość jest pojęciem charakterystycznym dla geometrii euklidesowej (ogólniej – afinicznej).

W geometrii rzutowej (i geometrii eliptycznej) każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest więc spełniony aksjomat Playfaira i nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia równoległości.

W geometrii hiperbolicznej także nie jest spełniony aksjomat Playfaira, tutaj przez dowolny punkt można przeprowadzić (co najmniej) dwie proste rozłączne z zadaną prostą. Można zdefiniować pojęcie równoległości dwóch prostych, odmienne jednak od równoległości definiowanej na płaszczyźnie euklidesowej – np. nie jest to relacja przechodnia.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Ogólniej podprzestrzenie co najwyżej n 1 {\displaystyle n{-}1} -wymiarowe przestrzeni n {\displaystyle n} -wymiarowej.
Na podstawie artykułu: "Równoległość" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy