Równanie Clapeyrona (stan gazu doskonałego)


Równanie Clapeyrona (stan gazu doskonałego) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałegorównanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujące gazy rzeczywiste. Sformułowane zostało w 1834 roku przez Benoîta Clapeyrona. Prawo to można wyrazić wzorem[1][2]:

p v = n R T {\displaystyle pv=nRT}   lub   p V = R T {\displaystyle pV=RT}

gdzie[a]:

Izotermy gazu doskonałego. Zakrzywione linie reprezentują zależność pomiędzy ciśnieniem (na osi pionowej) a objętością (na osi poziomej) dla idealnego gazu w różnych temperaturach: linie, które są dalej od początku (czyli linie, które są bliżej prawego górnego rogu wykresu) reprezentują wyższe temperatury.

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:

  • gaz składa się z poruszających się cząsteczek;
  • cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia, w którym się znajdują;
  • nie ma oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;
  • objętość (rozmiary) cząsteczek pomija się;
  • zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste;
Zderzenia molekularne w zamkniętym zbiorniku (zbiornik propanu) pokazano po prawej stronie. Strzałki przedstawiają losowe ruchy i kolizje tych cząsteczek. Ciśnienie i temperatura gazu są wprost proporcjonalne: wraz ze wzrostem temperatury ciśnienie propanu wzrasta o ten sam współczynnik. Prostą konsekwencją tej proporcjonalności jest to, że w ciepłym dniu ciśnienie w zbiorniku propanu zostanie podniesione, a zatem zbiorniki propanu muszą być przystosowane do wytrzymywania takiego wzrostu ciśnienia.

Równanie to, mimo że wyprowadzone w ramach wyidealizowanego modelu, dobrze opisuje większość substancji gazowych w obszarze ciśnień do ok. 100 atmosfer i temperatury do 300–400 °C, oraz w temperaturze trochę większej od temperatury skraplania gazu przy danym ciśnieniu.

Spis treści

Wyprowadzenie | edytuj kod

Równanie to można wyprowadzić fenomenologicznie (tj. bez odwoływania się do mikroskopowych właściwości układu). W wyniku wielu eksperymentów przeprowadzonych na gazach głównie w XVIII wieku badacze doszli do wniosku, że można w sposób satysfakcjonujący i wystarczający opisać te przemiany dla 1 mola gazu (n = 1) poprzez podanie 3 zmiennych np. T, p, V. Spośród tych trzech zmiennych tylko dwie są niezależne, wobec czego można traktować np. ciśnienie jako funkcję dwóch pozostałych zmiennych, tj. p = f(T,V). Można zatem zapisać różniczkę zupełną ciśnienia dp jako

d p = ( d p d T ) V d T + ( d p d V ) T d V {\displaystyle \operatorname {d} p={{\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} T}}\right)}_{V}}\operatorname {d} T+{{\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} V}}\right)}_{T}}\operatorname {d} V}

Pierwszy człon opisuje proces, w którym gaz zamknięty w stałej objętości jest ogrzewany, czemu towarzyszy zmiana jego ciśnienia. Jako pierwszy taką przemianę opisał Jacques Alexandre Charles (prawo Charles’a) i podał jej równanie w postaci:

p = k T {\displaystyle p=kT}

skąd wynika

( d p d T ) V = k = p T {\displaystyle {{\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} T}}\right)}_{V}}=k={\frac {p}{T}}}

Drugi człon to izotermiczne rozprężanie lub sprężanie gazu opisane przez Boyle’a i Mariotte’a (izotermiczna przemiana Boyle’a-Mariotte’a) wzorem

p = l V {\displaystyle p={\frac {l}{V}}}

gdzie l to stała. Z równania tego wynika, że

( d p d V ) T = l V 2 = p V {\displaystyle {{\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} V}}\right)}_{T}}=-{\frac {l}{{V}^{2}}}=-{\frac {p}{V}}}

Otrzymane pochodne cząstkowe podstawmy do wyrażenia na dp

d p = p T d T p V d V {\displaystyle \operatorname {d} p={\frac {p}{T}}\operatorname {d} T-{\frac {p}{V}}\operatorname {d} V}

Dzieląc to równanie przez p można rozdzielić zmienne

d p p = d T T d V V {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} p}{p}}={\frac {\operatorname {d} T}{T}}-{\frac {\operatorname {d} V}{V}}}

Po wycałkowaniu

ln p = ln T ln V + C {\displaystyle \ln p=\ln T-\ln V+C}

Stałą całkowania C można zapisać przy pomocy innej stałej R

C = ln R {\displaystyle C=\ln R}

wówczas, ponieważ funkcja ln jest różnowartościowa, a to prowadzi do równania

p V = R T {\displaystyle pV=RT}

Rozumowanie można uogólnić na dowolną liczbę moli gazu n. Równanie to stanowi fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:

  • n moli (taka sama liczba cząstek) gazu, przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu (V = nRT/p).
  • w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej (n = pV/RT)
  • n moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierało na jego ścianki takie samo ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz (p = nRT/V).

Określenie równanie Clapeyrona nie jest stosowane powszechnie w odniesieniu do tego wzoru – w literaturze anglojęzycznej równanie to znane jest jedynie jako ideal gas law (prawo gazu doskonałego), podobnie jest w większości innych języków. W Rosji równanie to funkcjonuje pod nazwą równania Mendelejewa-Clapeyrona. Jako równanie Clapeyrona określana jest też zależność opisująca przemiany fazowe, m.in. ciecz-gaz. Pod tą nazwą często funkcjonuje też równanie Clausiusa-Clapeyrona.

Rozszerzeniami równania gazu doskonałego, uwzględniającymi objętość cząsteczek gazu oraz przyciąganie cząsteczek, są równanie van der Waalsa oraz wirialne równanie stanu.

Energia gazu | edytuj kod

Zgodnie z założeniami kinetycznej teorii gazów zakładaliśmy, że nie ma międzycząsteczkowych oddziaływań pomiędzy cząsteczkami gazu doskonałego. Innymi słowy, jego potencjalna energia wynosi zero. Stąd cała energia posiadana przez gaz jest energią kinetyczną:

E = 3 2 R T {\displaystyle E={\frac {3}{2}}RT}

Jest to energia kinetyczna jednego mola gazu.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Zgodnie z zasadą obowiązującą w termodynamice chemicznej wielkie litery powinny być stosowane do oznaczania wielkości molowych (stąd Vobjętość molowa), a litery małe do innych wielkości (stąd vobjętość).

Przypisy | edytuj kod

  1. Encyklopedia techniki. Chemia. Warszawa: WNT, 1965.
  2. Antoni Basiński, Bielański Adam, Kazimierz Gumiński i inni: Chemia fizyczna. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 297.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Równanie Clapeyrona (stan gazu doskonałego)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy