Równania Hamiltona


Równania Hamiltona w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równania Hamiltona – jedna z alternatywnych postaci zapisu równań ruchu, obok równań ruchu mechaniki Newtona oraz równań Eulera-Lagrange’a mechaniki w ujęciu Lagrange’a. Równania te wyrażają pochodne współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego po czasie przy pomocy funkcji Hamiltona układu.

Spis treści

Definicja równań Hamiltona | edytuj kod

Równania Hamiltonaukład równań opisujących zmiany w czasie współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego wyrażonych przy pomocy funkcji Hamiltona

{ p ˙ i = H q i q ˙ i = H p i i = 1 , , s {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\dot {p}}_{i}=-{\cfrac {\partial H}{\partial q_{i}}}\\[.5em]{\dot {q}}_{i}={\cfrac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{matrix}}\right.\quad i=1,\dots ,s}

gdzie:

p i {\displaystyle p_{i}} i {\displaystyle i} -ty pęd uogólniony, q i {\displaystyle q_{i}} i {\displaystyle i} -ta współrzędna uogólniona, s {\displaystyle s} – liczba stopni swobody układu, H = H ( p 1 , , p s , q 1 , , q s , t ) {\displaystyle H=H(p_{1},\dots ,p_{s},q_{1},\dots ,q_{s},t)} – funkcja Hamiltona układu.

Równania Hamiltona stanowią układ 2 s {\displaystyle 2s} równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.

Równania Hamiltona wyrażone przez nawiasy Poissona | edytuj kod

Przy zapisie z użyciem nawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie

{ p ˙ i = { p i , H } q ˙ i = { q i , H } i = 1 , , s {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}\\[.5em]{\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\}\end{matrix}}\right.\quad i=1,\dots ,s}

Rozwiązania równań Hamiltona. Trajektoria układu | edytuj kod

Rozwiązanie równań Hamiltona przy zadanych warunkach początkowych { p 1 ( 0 ) , , p s ( 0 ) , q 1 ( 0 ) , , q s ( 0 ) } {\displaystyle \{p_{1}(0),\dots ,p_{s}(0),q_{1}(0),\dots ,q_{s}(0)\}} (lub brzegowych) daje zależności czasowe położeń { q 1 ( t ) , , q s ( t ) } {\displaystyle \{q_{1}(t),\dots ,q_{s}(t)\}} i pędów uogólnionych { p 1 ( t ) , , p s ( t ) } {\displaystyle \{p_{1}(t),\dots ,p_{s}(t)\}} od czasu. Punkt { p 1 ( t ) , , p s ( t ) , q 1 ( t ) , , q s ( t ) } {\displaystyle \{p_{1}(t),\dots ,p_{s}(t),q_{1}(t),\dots ,q_{s}(t)\}} kreśli w przestrzeni fazowej trajektorią układu.

Twierdzenie | edytuj kod

Jeżeli układ fizyczny znajduje się w polu oddziaływań o potencjale skalarnym, np. ciecz porusza się w polu grawitacyjnym, to pęd cząstek układu jest proporcjonalny do ich prędkości p ˙ i = m i q ˙ i . {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=m_{i}{\dot {q}}_{i}.} Ponadto jeżeli równania ruchu cząstek cieczy są równaniami Hamiltona, to ciecz ta jest nieściśliwa, tzn. jej super-prędkość ( q ˙ ( q , p ) , p ˙ ( q , p ) ) {\displaystyle ({\dot {\mathbf {q} }}({\mathbf {q} },{\mathbf {p} }),{\dot {\mathbf {p} }}({\mathbf {q} },{\mathbf {p} }))} ma znikającą dywergencję

( q ˙ , p ˙ ) = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot ({\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\mathbf {p} }})=0,}

gdzie:

( q ˙ , p ˙ ) = i ( q i ˙ q i + p i ˙ p i ) . {\displaystyle \nabla \cdot ({\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\mathbf {p} }})=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right).}

Zakładając, na wzór elektrodynamiki, istnienie skalarnego potencjału „wektorowego” H , {\displaystyle H,} którego odpowiednik rotacji, jak permutacja gradientu z sygnaturą (jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitego gradientu Hamiltonianu), zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych, tzn. takiego, że

p ˙ i = H q i , {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},} q ˙ i = H p i . {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}.}

otrzymujemy z twierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych

( q ˙ , p ˙ ) = i ( 2 H q i p i 2 H p i q i ) = 0. {\displaystyle \nabla \cdot ({\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\mathbf {p} }})=\sum _{i}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0.}

Jak widać, także

H ̸ H = i ( H q i H p i H p i H q i ) = 0. {\displaystyle \nabla H\cdot \not \nabla H=\sum _{i}\left({\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)=0.}

jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:

( q ˙ , p ˙ ) = ̸ H , {\displaystyle ({\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\mathbf {p} }})=\not \nabla H,}

co wyraża prostopadłość wektora prawej strony równań ̸ H {\displaystyle \not \nabla H} do gradientu Hamiltonianu H . {\displaystyle H.}

Przykład – oscylator harmoniczny | edytuj kod

Hamiltonian jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o jednostkowej masie i częstości dany jest przez:

H = p 2 2 + x 2 2 . {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {x^{2}}{2}}.}

Przestrzeń fazowa x , p {\displaystyle x,p} jest więc dwuwymiarowa, tzn. jest płaszczyzną.

Z równań Hamiltona otrzymamy:

p ˙ = H x = x , {\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-x,} x ˙ = H p = p . {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=p.}

Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze, otrzymujemy równanie Newtona:

x ¨ = x . {\displaystyle {\ddot {x}}=-x.}

Rozwiązaniem specjalnym tego równania jest funkcja

x ( t ) = e λ t , {\displaystyle x(t)=e^{\lambda t},}

przy czym λ 2 = 1 {\displaystyle \lambda ^{2}=-1} lub równoważnie λ = ± i . {\displaystyle \lambda =\pm i.}

Rozwiązanie musi być funkcją rzeczywistą – stąd x ( t ) {\displaystyle x(t)} w ogólnym przypadku ma postać:

x ( t ) = x ( 0 ) cos t + C sin t . {\displaystyle x(t)=x(0)\cos t+C\sin t.}

Na podstawie pierwszego równania widać, że całkując powyższe równanie, otrzymamy pęd:

p ( t ) = 0 t x ( t ) d t = x ( 0 ) sin t + C cos t = x ( 0 ) sin t + p ( 0 ) cos t . {\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}x(t)dt=-x(0)\sin t+C\cos t=-x(0)\sin t+p(0)\cos t.}

Z powyższych rozwiązań otrzymamy

p ( t ) 2 + x ( t ) 2 = x ( 0 ) 2 + p ( 0 ) 2 = c o n s t . {\displaystyle p(t)^{2}+x(t)^{2}=x(0)^{2}+p(0)^{2}=const.}

Wynik ten przedstawia równanie parametryczne okręgu. Oznacza to, że punktu x ( t ) , p ( t ) {\displaystyle [x(t),p(t)]} porusza się w przestrzeni fazowej po okręgu z częstością równą częstości oscylatora.

Jeśli rozważymy zbiór wielu punktów o różnych warunkach początkowych x ( 0 ) , p ( 0 ) {\displaystyle x(0),p(0)} odpowiadający cieczy składającej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z pewną gęstością początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich, to ponieważ wszystkie punkty poruszają z taką sama częstością kołowa, to gęstość cieczy pozostanie stała mino jej ruchu. Oznacza to, że ciecz jest nieściśliwą.

W przypadku oscylatora harmonicznego własność ta oznacza, że tzw. funkcja Wignera (która wyraża gęstość pędu i położenia stanu kwantowego) jedynie się obraca, zachowując w czasie ten sam kształt.

Na podstawie artykułu: "Równania Hamiltona" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy