Punkt stały


Punkt stały w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Funkcja z trzema punktami stałymi

Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie – punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi.

Definicja | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie zbiorem będącym dziedziną i przeciwdziedziną odwzorowania f {\displaystyle f}

f : X X . {\displaystyle f\colon X\to X.}

Punkt x należący do zbioru X

x X {\displaystyle x\in X}

nazywamy punktem stałym odwzorowania f , {\displaystyle f,} jeśli

f ( x ) = x . {\displaystyle f(x)=x.}

Zbiór punktów stałych oznaczamy Fix ( f ) : {\displaystyle \operatorname {Fix} (f){:}}

Fix ( f ) = { x X : f ( x ) = x } . {\displaystyle \operatorname {Fix} (f)=\{x\in X\colon \;f(x)=x\}.}

Zastosowania | edytuj kod

Dużą część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktu stałego pewnych odwzorowań. Należą do nich m.in.:

jak i wielu innych.

Nawet szukanie rozwiązania układu równań (np. liczbowych) sprowadza się do szukania punktu stałego pewnego odwzorowania. Dokładniej, niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią liniową (np. R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} lub C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ) oraz F : X X . {\displaystyle F\colon X\to X.} Punkt x X {\displaystyle x\in X} jest rozwiązaniem równania F ( x ) = 0 {\displaystyle F(x)=0} wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania f = id F . {\displaystyle f={\mbox{id}}-F.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Jerzy Jezierski, Wacław Marzantowicz: Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory. Dordrecht: Springer, 2006.
Na podstawie artykułu: "Punkt stały" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy