Przestrzeń liniowa


Przestrzeń liniowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Przestrzeń liniowa to zbiór elementów (nazywanych wektorami), które mogą być skalowane i dodawane.

Przestrzeń liniowa (przestrzeń wektorowa)zbiór elementów (nazywanych wektorami), w którym określono dwa działania:

  • dodawanie wektorów,
  • skalowanie wektorów, czyli mnożenie wektorów przez liczby (nazywane skalarami) z ustalonego ciała,

przy czym działania te muszą spełniać poniżej wymienione aksjomaty (patrz Definicja).

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe przestrzenie euklidesowe:

Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji geometrycznej. Przykładami są: (1) zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych – wielomian jest wektorem niegeometrycznym (2) zbiór macierzy kwadratowych tego samego wymiaru – macierz jest wektorem niegeometrycznym (por. przykłady przestrzeni liniowych).

Przestrzenie liniowe stanowią podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech ( K , + , ) {\displaystyle (K,+,\cdot )} będzie ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych K R {\displaystyle K\equiv R} lub liczb zespolonych K C {\displaystyle K\equiv C} ).

Ciało to nazywa się ciałem skalarów, elementy ciała nazywa się skalarami.

Definicja:

Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem K {\displaystyle K} nazywa się zbiór V {\displaystyle V} z określonymi w nim dwoma działaniami dwuargumentowymi:

(1) dodawanie wektorów: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru V {\displaystyle V} na zbiór V , {\displaystyle V,} + : V × V V , {\displaystyle +:V\times V\to V,} które dowolnym wektorom v , w V {\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V} przyporządkowuje pewien wektor u V , {\displaystyle u\in V,} nazywany sumą wektorów v , w , {\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} ,} co symbolicznie zapisuje się w postaci

u = v + w {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {w} }

(2) mnożenie przez skalar: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru V {\displaystyle V} i ciała K , {\displaystyle K,} K × V V , {\displaystyle K\times V\to V,} które dowolnemu wektorowi v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} i dowolnej liczbie a K {\displaystyle a\in K} przyporządkowuje pewien wektor u V , {\displaystyle u\in V,} co symbolicznie zapisuje się w postaci

u = a v {\displaystyle \mathbf {u} =a\,\mathbf {v} }

przy czym działania te spełniają poniższe aksjomaty:

  1. Dodawanie wektorów jest łączne, tj. dla dowolnych u , v , w V {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V} jest u + ( v + w ) = ( u + v ) + w {\displaystyle \mathbf {u} {\boldsymbol {+}}(\mathbf {v} {\boldsymbol {+}}\mathbf {w} )=(\mathbf {u} {\boldsymbol {+}}\mathbf {v} ){\boldsymbol {+}}\mathbf {w} }
  2. Dodawanie wektorów jest przemienne, tj. dla dowolnych v , w V {\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V} jest v + w = w + v {\displaystyle \mathbf {v} {\boldsymbol {+}}\mathbf {w} =\mathbf {w} {\boldsymbol {+}}\mathbf {v} }
  3. Dodawanie wektorów ma element neutralny, tj. istnieje taki element 0 V , {\displaystyle {\boldsymbol {0}}\in V,} nazywany wektorem zerowym, że dla dowolnego v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} jest v + 0 = v {\displaystyle \mathbf {v} {\boldsymbol {+}}{\boldsymbol {0}}=\mathbf {v} }
  4. Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne, tj. dla każdego v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} istnieje element w V , {\displaystyle \mathbf {w} \in V,} nazywany wektorem przeciwnym do v , {\displaystyle \mathbf {v} ,} taki że v + w = 0 {\displaystyle \mathbf {v} {\boldsymbol {+}}\mathbf {w} ={\boldsymbol {0}}}
  5. Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów, tj. dla każdego a K {\displaystyle a\in K} oraz v , w V {\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V} jest a ( v + w ) = a v + a w {\displaystyle a(\mathbf {v} {\boldsymbol {+}}\mathbf {w} )=a\mathbf {v} {\boldsymbol {+}}a\mathbf {w} }
  6. Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:, tj. dla każdych a , b K {\displaystyle a,b\in K} oraz v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} zachodzi ( a + b ) v = a v + b v {\displaystyle (a+b)\mathbf {v} =a\mathbf {v} {\boldsymbol {+}}b\mathbf {v} }
  7. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów, tj. dla dowolnych a , b K {\displaystyle a,b\in K} oraz v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} jest a ( b v ) = ( a b ) v {\displaystyle a(b\mathbf {v} )=(a\cdot b)\mathbf {v} }
  8. Mnożenie przez skalar ma element neutralny, tj. dla dowolnego v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} istnieje element 1 {\displaystyle 1} w K {\displaystyle K} (tzw. element neutralny mnożenia), że 1 v = v {\displaystyle 1\mathbf {v} =\mathbf {v} }

Uwaga:

Pierwsze cztery warunki czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.

Przestrzeń liniowa rzeczywista i zespolona | edytuj kod

Def. Przestrzenią liniową rzeczywistą nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb rzeczywistych, K R . {\displaystyle K\equiv R.}

Def. Przestrzenią liniową zespoloną nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb zespolonych K C . {\displaystyle K\equiv C.}

Informacje uzupełniające | edytuj kod

(1) Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem K {\displaystyle K} jest strukturą matematyczną ( V , K , + , , + , ) , {\displaystyle (V,K,+,\cdot ,{\boldsymbol {+}},{\boldsymbol {\cdot }}),} w której:

  • ( V , + ) {\displaystyle (V,{\boldsymbol {+}})} jest grupą abelową (aksjomaty 1–4),
  • ( K , + , ) {\displaystyle (K,+,\cdot )} jest ciałem,

wyposażoną w działanie : K × V V {\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}\colon K\times V\to V} (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5–8.

Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem K {\displaystyle K} ). W ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).

(2) Siódmy aksjomat nie opisuje łączności, gdyż obecne są w nim dwa różne działania: mnożenie przez skalar, b v , {\displaystyle b\mathbf {v} ,} oraz mnożenie skalarów (z ciała), a b . {\displaystyle a\cdot b.}

(3) Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:

  1. Przestrzeń V {\displaystyle V} jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów, jeżeli u , v V , {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V,} to u + v V . {\displaystyle \mathbf {u} {\boldsymbol {+}}\mathbf {v} \in V.}
  2. Przestrzeń V {\displaystyle V} jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar, jeżeli a K , v V , {\displaystyle a\in K,\mathbf {v} \in V,} to a v V . {\displaystyle a\mathbf {v} \in V.}

Jednak zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o przeciwdziedzinie V , {\displaystyle V,} co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów.

(4) Aksjomaty domkniętości są zaś niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

(5) Wyrażenia postaci „ v a {\displaystyle \mathbf {v} a} ”, gdzie v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} oraz a K , {\displaystyle a\in K,} ściśle rzecz ujmując, są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „ a v {\displaystyle a\mathbf {v} } ” oraz „ v a {\displaystyle \mathbf {v} a} ” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa V {\displaystyle V} jest algebrą nad ciałem K , {\displaystyle K,} to dla v V , w V {\displaystyle \mathbf {v} \in V,\mathbf {w} \in V} oraz a K {\displaystyle a\in K} zachodzi a v w = v a w , {\displaystyle a\mathbf {v} \mathbf {w} =\mathbf {v} a\mathbf {w} ,} co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „ a v {\displaystyle a\mathbf {v} } ” i „ v a {\displaystyle \mathbf {v} a} ” jako reprezentacji tego samego wektora.

(6) Symbol {\displaystyle \cdot } pomija się często dla działania mnożenia w ciele, rezerwując go dla iloczynu skalarnego lub rezygnuje się z niego całkowicie, gdyż rodzaj mnożenia można zwykle jednoznacznie określić na podstawie rodzaju czynników.

Podstawowe twierdzenia | edytuj kod

Suma wektorów. Wektor v jest dodany do wektora w. Mnożenie wektorów. Wektor v jest mnożony przez 2, a następnie dodany do w.

Następujące twierdzenia można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:

Tw. 1: Wektor zerowy 0 V {\displaystyle {\boldsymbol {0}}\in V} jest wyznaczony jednoznacznie, tj. jeżeli

0 1 + v = v {\displaystyle {\boldsymbol {0}}_{1}{\boldsymbol {+}}\mathbf {v} =\mathbf {v} } oraz 0 2 + v = v , {\displaystyle {\boldsymbol {0}}_{2}{\boldsymbol {+}}\mathbf {v} =\mathbf {v} ,} to: 0 1 = 0 2 = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {0}}_{1}={\boldsymbol {0}}_{2}={\boldsymbol {0}}}

Tw. 2: Mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, tj. dla dowolnego a K {\displaystyle a\in K} jest:

a 0 = 0 {\displaystyle a\,{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}}

Tw. 3: Mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, tj. dla każdego v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} zachodzi

0 v = 0 , {\displaystyle 0\,\mathbf {v} ={\boldsymbol {0}},}

gdzie 0 {\displaystyle 0} – element neutralny dodawania w K {\displaystyle K}

Tw. 4: Żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, tj.

a v = 0 {\displaystyle a\mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}} wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 {\displaystyle a=0} lub v = 0 {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}}

Tw. 5: Wektor v {\displaystyle {\boldsymbol {-}}\mathbf {v} } odwrotny względem dodawania do v {\displaystyle \mathbf {v} } jest wyznaczony jednoznacznie, tzn. jeżeli

w 1 , w 2 {\displaystyle \mathbf {w_{1}} ,\mathbf {w_{2}} } są odwrotnościami v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} takimi, że v + w 1 = 0 {\displaystyle \mathbf {v} {\boldsymbol {+}}\mathbf {w_{1}} ={\boldsymbol {0}}} oraz v + w 2 = 0 , {\displaystyle \mathbf {v} {\boldsymbol {+}}\mathbf {w_{2}} ={\boldsymbol {0}},} to w 1 = w 2 {\displaystyle \mathbf {w_{1}} =\mathbf {w_{2}} }

Wektor v {\displaystyle {\boldsymbol {-}}\mathbf {v} } nazywa się wektorem przeciwnym do v . {\displaystyle \mathbf {v} .}

Definicja (różnicy wektorów):

Różnicą wektora u {\displaystyle \mathbf {u} } i wektora v {\displaystyle \mathbf {v} } nazywa się wektor, który jest sumę wektora u {\displaystyle \mathbf {u} } i wektora przeciwnego do wektora v , {\displaystyle \mathbf {v} ,} tj. u v = u + ( v ) {\displaystyle \mathbf {u} {\boldsymbol {-}}\mathbf {v} =\mathbf {u} {\boldsymbol {+}}({\boldsymbol {-}}\mathbf {v} )}

Tw. 6: Mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, tj. dla każdego v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} mamy

( 1 ) v = v , {\displaystyle (-1)\mathbf {v} ={\boldsymbol {-}}\mathbf {v} ,}

gdzie 1 {\displaystyle 1} oznacza element odwrotny względem mnożenia w K . {\displaystyle K.}

Tw. 7: Ujemność jest całkowicie przemienna, tj. dla każdego a K {\displaystyle a\in K} oraz v V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} zachodzi

( a ) v = a ( v ) = ( a v ) . {\displaystyle (-a)\mathbf {v} =a({\boldsymbol {-}}\mathbf {v} )={\boldsymbol {-}}(a\mathbf {v} ).}

Baza i wymiar przestrzeni liniowej | edytuj kod

 Osobne artykuły: podprzestrzeń liniowabaza (przestrzeń liniowa).

Definicja powłoki liniowej | edytuj kod

Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów v 1 , v 2 , , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}} nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową).

Definicja rozpinania przestrzeni przez zbiór wektorów | edytuj kod

Mówi się, że dany zbiór wektorów v 1 , v 2 , , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}} rozpina przestrzeń liniową, jeżeli wszystkie inne wektory tej przestrzeni można otrzymać w wyniku dodawania i mnożenia przez skalar wektorów tego zbioru.

Definicja liniowej niezależności wektorów | edytuj kod

Jeżeli spośród wektorów v 1 , v 2 , , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}} rozpinających daną przestrzeń usunięcie któregokolwiek z nich powodowałoby, że z pozostałych nie dałoby się rozpiąć tej podprzestrzeni, to mówi się, że zbiór wektorów jest liniowo niezależny.

Definicja bazy przestrzeni liniowej | edytuj kod

Bazą przestrzeni V {\displaystyle V} nazywa się liniowo niezależny zbiór wektorów v 1 , v 2 , , v n , {\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n},} który rozpina przestrzeń V . {\displaystyle V.}

Twierdzenie o istnieniu bazy | edytuj kod

Każda przestrzeń liniowa ma bazę.

Dowód: Dowiódł tego Felix Hausdorff na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla, w oparciu o lemat Kuratowskiego-Zorna.

Twierdzenie o równoliczności baz | edytuj kod

Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne.

Dowód: Wynika to ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole’a (BPI).

Definicja wymiaru przestrzeni liniowej | edytuj kod

Jeśli V {\displaystyle V} jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni V {\displaystyle V}

Wymiar przestrzeni oznacza się symbolem dim V . {\displaystyle \dim V.}

Np. Wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej R 3 , {\displaystyle \mathbb {R} ^{3},} czyli dim R 3 , {\displaystyle \dim \mathbb {R} ^{3},} wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } {\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}} [a].

Uwaga:

Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

Twierdzenie Andreasa Blassa (1984 r.) | edytuj kod

Istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru[1].

Definicja podprzestrzeni | edytuj kod

 Osobne artykuły: podprzestrzeń liniowabaza (przestrzeń liniowa).

Definicja 1:

Niepusty podzbiór W {\displaystyle W} przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni, przy czym:
  1. przestrzeń W {\displaystyle W} jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów, jeżeli u , v W , {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in W,} to u + v W {\displaystyle \mathbf {u} {\boldsymbol {+}}\mathbf {v} \in W}
  2. przestrzeń W {\displaystyle W} jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar, jeżeli a K , v W , {\displaystyle a\in K,\mathbf {v} \in W,} to a v W . {\displaystyle a\mathbf {v} \in W.}

Definicja 2 (równoważna)

Podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem).

Wynika stąd, że:

Baza podprzestrzeni i jej wymiar są zadane przez bazę i wymiar tego zbioru, traktowanego jako niezależna przestrzeń liniowa.

Przykłady | edytuj kod

 Osobny artykuł: przykłady przestrzeni liniowych.

Przekształcenia liniowe | edytuj kod

 Osobny artykuł: przekształcenie liniowe.

Dla danych dwóch przestrzeni liniowych V {\displaystyle V} oraz W {\displaystyle W} nad tym samym ciałem K {\displaystyle K} można zdefiniować przekształcenia liniowe lub odwzorowania liniowe z V {\displaystyle V} do W . {\displaystyle W.} Są to funkcje f : V W {\displaystyle f\colon V\to W} zachowujące ich struktury, tzn. zachowujące sumy wektorów i iloczyny wektorów przez skalary. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z V {\displaystyle V} do W , {\displaystyle W,} oznaczany Hom K ( V , W ) , {\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(V,W),} sam stanowi przestrzeń liniową nad K . {\displaystyle K.} Jeżeli dane są bazy V {\displaystyle V} i W , {\displaystyle W,} przekształcenia liniowe można wyrazić w pojęciach składowych za pomocą macierzy nazywanych macierzami przekształceń liniowych.

Izomorfizm to przekształcenie liniowe f : V W , {\displaystyle f\colon V\to W,} które jest jednocześnie bijekcją przestrzeni V {\displaystyle V} na przestrzeń W . {\displaystyle W.} Jeśli istnieje izomorfizm między V {\displaystyle V} a W , {\displaystyle W,} to mówi się, że przestrzenie te są izomorficzne, jako że przestrzenie liniowe mają tę samą strukturę.

Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest niezmiennikiem izomorfizmu: otóż jeśli { x i : i I } {\displaystyle \{x_{i}\colon \;i\in I\}} jest bazą przestrzeni V , {\displaystyle V,} to { f ( x i ) : i I } {\displaystyle \{f(x_{i})\colon \;i\in I\}} jest bazą przestrzeni W . {\displaystyle W.} Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie n {\displaystyle n} -wymiarowe nad ciałem K {\displaystyle K} są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych K n . {\displaystyle K^{n}.} Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych skończonego wymiaru za pomocą metod właściwych przestrzeniom współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm między tymi przestrzeniami.

Izomorfizmy między dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: gdy V = W = { 0 } {\displaystyle V=W=\{{\boldsymbol {0}}\}} lub gdy V , W {\displaystyle V,W} są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy między przestrzeniami liniowymi istnieją izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są kanoniczne bądź naturalne. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni będących iloczynami tensorowymi przestrzeni, odpowiednio V {\displaystyle V} i W {\displaystyle W} oraz W {\displaystyle W} i V , {\displaystyle V,} jest odwzorowanie v w w v {\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} \mapsto \mathbf {w} \otimes \mathbf {v} } dla v V , w W . {\displaystyle \mathbf {v} \in V,\;\mathbf {w} \in W.}

Przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem K {\displaystyle K} wraz z przekształceniami liniowymi są kategorią abelową.

Iloczyn przestrzeni liniowych | edytuj kod

Jeśli V , W {\displaystyle V,W} są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K , {\displaystyle K,} to w iloczynie kartezjańskim V × W {\displaystyle V\times W} można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej, definiując działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar w następujący sposób:

( v 1 , w 1 ) ( v 2 , w 2 ) = ( v 1 + v 2 , w 1 + w 2 ) , {\displaystyle (\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {w_{1}} )\oplus (\mathbf {v_{2}} ,\mathbf {w_{2}} )=(\mathbf {v_{1}} {\boldsymbol {+}}\mathbf {v_{2}} ,\mathbf {w_{1}} {\boldsymbol {+}}\mathbf {w_{2}} ),} a ( v 1 , w 1 ) = ( a v 1 , a w 1 ) , {\displaystyle a\odot (\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {w_{1}} )=(a\mathbf {v_{1}} ,a\mathbf {w_{1}} ),}

dla ( v 1 , w 1 ) , ( v 2 , w 2 ) V × W , a K . {\displaystyle (\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {w_{1}} ),(\mathbf {v_{2}} ,\mathbf {w_{2}} )\in V\times W,\;a\in K.}

Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni V 1 , , V n . {\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}.}

Dodatkowe struktury | edytuj kod

Przestrzeń liniowa jest wzbogacana o dodatkowe struktury.

Przestrzeń liniowa z topologią | edytuj kod

Definiuje się dodatkowo topologię w przestrzeni liniowej. W szczególności otrzyma się przestrzeń liniowo-topologiczną, jeśli działania dodawania wektorów i mnożenie przez skalarciągłe. Topologia określona na przestrzeni liniowej umożliwia wprowadzenie struktury jednostajnej. Jeśli przestrzeń ma nieskończony wymiar, to można na niej określić więcej niż jedną nierównoważną topologię

Przestrzeń unormowana | edytuj kod

Przestrzeń unormowana to przestrzeń liniowa nad ciałem K R {\displaystyle K\equiv R} lub K C {\displaystyle K\equiv C} z dodatkowo zdefiniowaną normą, która określa długość wektorów.

Przestrzeń unitarna | edytuj kod

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) to przestrzeń liniowa z dodatkowo zdefiniowanym iloczynem skalarnym dla wektorów.

Przestrzeń Banacha / przestrzeń Hilberta | edytuj kod

Przestrzeń unormowana / unitarna[b], zupełna ze względu na metrykę generowaną przez normę/normę pochodzącą od iloczynu skalarnego to przestrzeń Banacha/przestrzeń Hilberta. Np. w mechanice kwantowej wektor stanu układu fizycznego definiuje się jako wektor w przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie liniowo-topologiczne | edytuj kod

Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami przestrzeni liniowo-topologicznych, to znaczy przestrzeni liniowych (ciałem liczb R lub C) wyposażonych w topologię[c] zgodną z jej strukturą liniową, czyli taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe[d].

Szerszą klasyfikację tych przestrzeni omówiono w artykule przestrzenie liniowo-topologiczne. W przestrzeniach tych wprowadza się pojęcie zbieżności (za pomocą topologii, metryki, normy), oraz rozważa się sumę nieskończonej liczby wektorów (tzw. szeregi).

Algebra nad ciałem | edytuj kod

Algebra nad ciałem to przestrzeń liniowa z dodatkowym działaniem dwuliniowym określającym mnożenie dwóch wektorów.

Uporządkowana przestrzeń liniowa | edytuj kod

Uporządkowana przestrzeń liniowa to przestrzeń liniowa z wprowadzonym w sposób zgodny ze strukturą przestrzeni porządkiem częściowym wektorów.

Uogólnienia | edytuj kod

Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są modułami nad ustalonym ciałem K . {\displaystyle K.} Dużą część algebry liniowej można uprawiać, opierając się wyłącznie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania a v {\displaystyle a\mathbf {v} } oraz v a {\displaystyle \mathbf {v} a} w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia K - K {\displaystyle K{\text{-}}K} bimodułu. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je mają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe), nazywa się modułami wolnymi.

Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób ciągły za pomocą związanej z nią przestrzeni topologicznej nazywa się wiązką wektorową.

Przestrzeń afiniczna jest zbiorem z przechodnim działaniem przestrzeni liniowej na sobie. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne

Θ : V 2 V , ( a , b ) a b . {\displaystyle \Theta \colon V^{2}\to V,\;(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mapsto \mathbf {a} {\boldsymbol {-}}\mathbf {b} .}

Alternatywny zestaw aksjomatów | edytuj kod

Aksjomaty 3. i 4. można zastąpić następującym aksjomatem 9.:

Dla dowolnych u , v V {\displaystyle \mathbf {u} ,\,\mathbf {v} \in V} zachodzi 0 u = 0 v . {\displaystyle 0\mathbf {u} =0\mathbf {v} .}

Poniższy dowód równoważności pochodzi z A Note on the Independence of the Axioms for a Vector Space A. J. van der Poortena.

Przy założeniu aksjomatów 1. i 2. oraz 5.–9. mamy

0 u + v = 0 v + v = 0 v + 1 v = ( 0 + 1 ) v = 1 v = v {\displaystyle 0\mathbf {u} +\mathbf {v} =0\mathbf {v} +\mathbf {v} =0\mathbf {v} +1\mathbf {v} =(0+1)\mathbf {v} =1\mathbf {v} =\mathbf {v} } oraz u + ( 1 ) u = 1 u + ( 1 ) u = ( 1 + ( 1 ) ) u = 0 u , {\displaystyle \mathbf {u} +(-1)\mathbf {u} =1\mathbf {u} +(-1)\mathbf {u} =(1+(-1))\mathbf {u} =0\mathbf {u} ,}

skąd wynika, że 0 u {\displaystyle 0\mathbf {u} } jest elementem neutralnym i ( 1 ) u {\displaystyle (-1)\mathbf {u} } jest elementem przeciwnym do u . {\displaystyle \mathbf {u} .}

Natomiast przy założeniu aksjomatów 1.–8. jest

0 u + v = 0 + ( 0 u + v ) = ( 0 + 0 u ) + v = ( ( u + ( u ) ) + 0 u ) + v = ( ( u + 0 u ) + ( u ) ) + v {\displaystyle 0\mathbf {u} +\mathbf {v} =\mathbf {0} +(0\mathbf {u} +\mathbf {v} )=(\mathbf {0} +0\mathbf {u} )+\mathbf {v} =((\mathbf {u} +(-\mathbf {u} ))+0\mathbf {u} )+\mathbf {v} =((\mathbf {u} +0\mathbf {u} )+(-\mathbf {u} ))+\mathbf {v} } = ( ( 1 u + 0 u ) + ( u ) ) + v = ( ( 1 + 0 ) u + ( u ) ) + v = ( 1 u + ( u ) ) + v = ( u + ( u ) ) + v = 0 + v = v {\displaystyle =((1\mathbf {u} +0\mathbf {u} )+(-\mathbf {u} ))+\mathbf {v} =((1+0)\mathbf {u} +(-\mathbf {u} ))+\mathbf {v} =(1\mathbf {u} +(-\mathbf {u} ))+\mathbf {v} =(\mathbf {u} +(-\mathbf {u} ))+\mathbf {v} =\mathbf {0} +\mathbf {v} =\mathbf {v} }

A więc w szczególności 0 = 0 u + 0 = 0 u {\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {u} +\mathbf {0} =0\mathbf {u} } dla dowolnego u V , {\displaystyle \mathbf {u} \in V,} a zatem zachodzi 9.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Wektory te są liniowo niezależne.
  2. Nad.
  3. Zakłada się dodatkowo, by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy aksjomat oddzielania.
  4. W sensie topologii produktowej odpowiednio w: X × X {\displaystyle X\times X} i K × X . {\displaystyle K\times X.}

Przypisy | edytuj kod

  1. Blass, Andreas. Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31–33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.

Bibliografia | edytuj kod

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
Kontrola autorytatywna (przestrzeń):
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń liniowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy