Prawo Hooke’a


Prawo Hooke’a w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły[1]. Współczynnik między naprężeniem wywołanym przez przyłożone siły a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej plastyczności i lepkości.

Ta prawidłowość została sformułowana przez Roberta Hooke’a w 1660 r. w formie ut tensio sic vis (jakie wydłużenie, taka siła) i przekazana w postaci anagramu ceiiinosssttuv.

Spis treści

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia | edytuj kod

Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń dla stali zwykłej z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

F S = E Δ l l , Δ l = l F S E , {\displaystyle {\frac {F}{S}}=E{\frac {\Delta l}{l}},\quad \Delta l={\frac {lF}{SE}},}

gdzie:

F {\displaystyle F} – siła rozciągająca, S {\displaystyle S} – pole przekroju poprzecznego, E {\displaystyle E} moduł Younga, Δ l {\displaystyle \Delta l} – wydłużenie pręta, l {\displaystyle l} – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

σ = E ε {\displaystyle \sigma =E\varepsilon }

gdzie:

ε = Δ l l {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l}}} – odkształcenie, σ = F S {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}}} – naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia | edytuj kod

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału izotropowego uogólnił w 1822 Augustin Louis Cauchy[1]. Może być zapisane w postaci układu równań:

dla odkształceń normalnych (liniowych)
ε x = 1 E σ x ν ( σ y + σ z ) , {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})],} ε y = 1 E σ y ν ( σ z + σ x ) , {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{z}+\sigma _{x})],} ε z = 1 E σ z ν ( σ x + σ y ) , {\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})],}
dla odkształceń postaciowych (kątowych)
γ x y = τ x y G , {\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}},} γ x z = τ x z G , {\displaystyle \gamma _{xz}={\frac {\tau _{xz}}{G}},} γ y z = τ y z G , {\displaystyle \gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}},}

gdzie:

ε x , ε y , {\displaystyle \varepsilon _{x},\varepsilon _{y},} ε z {\displaystyle \varepsilon _{z}} – składowe odkształcenia normalnego w punkcie, σ x , σ y , σ z {\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}} – naprężenie normalne w punkcie, γ x y , γ y z , γ x z {\displaystyle \gamma _{xy},\gamma _{yz},\gamma _{xz}} – składowe odkształcenia postaciowego w punkcie, τ x y , τ y z , τ x z {\displaystyle \tau _{xy},\tau _{yz},\tau _{xz}} – naprężenie styczne w punkcie, G {\displaystyle G} – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa, E {\displaystyle E} moduł Younga, ν {\displaystyle \nu } współczynnik Poissona.

Zapis tensorowy | edytuj kod

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako współczynnik proporcjonalności stosuje się tensor sztywności C {\displaystyle C}

σ i j = C i j k l ε k l {\displaystyle \sigma ^{ij}=C^{ijkl}\varepsilon _{kl}}

lub tensor podatności D {\displaystyle D}

ε k l = D k l i j σ i j {\displaystyle \varepsilon _{kl}=D_{klij}\sigma ^{ij}}

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Nawrot, Karolczak i Jaworska 2013 ↓, s. 187.

Bibliografia | edytuj kod

  • Alicja Nawrot, Dorota Karolczak, Jadwiga Jaworska: Encyklopedia – fizyka z astronomią. Kraków: GREG, 2013. ISBN 978-83-7517-210-2.
Na podstawie artykułu: "Prawo Hooke’a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy