Powierzchnia


Powierzchnia w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Powierzchniazbiór punktów (miejsce geometryczne) o tej własności, iż można wokół każdego jej punktu zbudować (niewielką) sferę, która w przecięciu z tym zbiorem daje jedynie obiekty jednowymiarowe (krzywe). Jest to trójwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Powierzchnia jest także potocznym określeniem pola powierzchni.

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Powierzchnia to continuum o wymiarze 2, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum o wymiarze 2 lub wyższym jednak zawiera continuum o wymiarze 1.

Powierzchnia może w szczególności rozgałęziać się.

Klasyfikacja powierzchni w topologii algebraicznej | edytuj kod

Zwarte domknięte (bez brzegu) powierzchnie (czyli takie dla których otoczenie każdego punktu jest homeomorficzne z R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ) można podzielić na klasy równoważności zgodnie z relacją równoważności zadaną przez homeomorfizm. Twierdzenie o klasyfikacji powierzchni mówi wtedy że takich klas równoważności jest przeliczalnie wiele i każda z nich ma reprezentanta jednej z 3 postaci:

  1. Sfrerę S 2 {\displaystyle S^{2}}
  2. Sumę spójną (wzdłuż S 1 {\displaystyle S^{1}} ) g torusów dla g 1 {\displaystyle g\geqslant 1}
  3. Sumę spójną (wzdłuż S 1 {\displaystyle S^{1}} ) k kopii R P 2 {\displaystyle \mathbb {R} P^{2}} dla n 1 {\displaystyle n\geqslant 1}

Pozwala to na klasyfikacje powierzchni na podstawie tylko dwóch informacji: genusu oraz czy przestrzeń jest orientowalna. Dodatkowo przestrzenie orientowalne maja nietrywialna najwyższą grupę homologii H 2 ( Σ g ) = Z {\displaystyle H_{2}(\Sigma _{g})=\mathbb {Z} } a nieorientowalne nie ( H 2 ( Γ k ) = 0 ) {\displaystyle (H_{2}(\Gamma _{k})=0)} .

Przykłady powierzchni | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.
Na podstawie artykułu: "Powierzchnia" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy