Podzbiór


Podzbiór w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Diagram Venna: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech A , B {\displaystyle A,B} będą zbiorami. Jeżeli każdy element x A {\displaystyle x\in A} jest jednocześnie elementem B , {\displaystyle B,} to zbiór A {\displaystyle A} nazywa się podzbiorem zbioru B {\displaystyle B} [1][2][3]. W zapisie logicznym:

A B x A   x B , {\displaystyle A\subseteq B\,\iff \forall _{x\in A}\ x\in B,}

inaczej fakt ten można wyrazić jako

A B ( x A x B ) {\displaystyle A\subseteq B\,\iff (x\in A\Rightarrow x\in B)} [2].

Jeżeli A {\displaystyle A} jest podzbiorem B , {\displaystyle B,} to sam zbiór B {\displaystyle B} nazywa się nadzbiorem zbioru A {\displaystyle A} [2] i oznacza B A . {\displaystyle B\supseteq A.}

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru B {\displaystyle B} należy do A , {\displaystyle A,} to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór A {\displaystyle A} zbioru B {\displaystyle B} nazywa się niewłaściwym. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc B B . {\displaystyle B\subseteq B.} W przeciwnym wypadku, czyli gdy A B {\displaystyle A\subseteq B} oraz A B , {\displaystyle A\neq B,} zbiór A {\displaystyle A} nazywa się podzbiorem właściwym zbioru B {\displaystyle B} [2] i oznacza A B . {\displaystyle A\subsetneq B.} Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Zapis | edytuj kod

W starszych pozycjach (np. w podręcznikach Kuratowskiego[1][3] i Rasiowej[2]) do oznaczenia bycia podzbiorem bądź nadzbiorem wykorzystywane były jedynie symbole {\displaystyle \subset } oraz , {\displaystyle \supset ,} a fakt bycia podzbiorem (nadzbiorem) właściwym zaznaczany był obok. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków {\displaystyle \subseteq } i {\displaystyle \supseteq } na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych[a][4][5]. Ponieważ część autorów przyjęła nową konwencję, a część z nich pozostała przy starych oznaczeniach, znaczenie symboli {\displaystyle \subset } i {\displaystyle \supset } nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole {\displaystyle \subsetneq } i {\displaystyle \supsetneq } na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

Zawieranie | edytuj kod

Dla dowolnego zbioru K {\displaystyle K} prawdziwe jest zdanie:

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów K , L , M {\displaystyle K,L,M} zachodzą następujące fakty:

  • dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność), K K {\displaystyle K\subseteq K} [6][3],
  • zbiory, które są swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe[6][1] (antysymetria), K L L K K = L ; {\displaystyle K\subseteq L\wedge L\subseteq K\Rightarrow K=L;}
  • podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość), K L L M K M {\displaystyle K\subseteq L\wedge L\subseteq M\Rightarrow K\subseteq M} [6][8].

Relacja {\displaystyle \subseteq } jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym[9][10]. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją[1][2][3]. Dlatego też dla danych zbiorów A , B {\displaystyle A,B} pozostających z sobą w relacji A B {\displaystyle A\subseteq B} mówi się obok „ A {\displaystyle A} jest podzbiorem B {\displaystyle B} ”, że A {\displaystyle A} zawiera się bądź jest zawarty w B . {\displaystyle B.} Analogiczne wyrażenie B A {\displaystyle B\supseteq A} obok „ B {\displaystyle B} jest nadzbiorem A {\displaystyle A} ” czyta się B {\displaystyle B} zawiera A . {\displaystyle A.}

Relacja {\displaystyle \supseteq } ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściwe | edytuj kod

Podobnie rzecz ma się z relacjami {\displaystyle \subsetneq } oraz , {\displaystyle \supsetneq ,} które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również są relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów K , L , M : {\displaystyle K,L,M{:}}

  • żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność), ¬ ( K K ) , {\displaystyle \lnot (K\subsetneq K),}
  • podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość), K L L M K M . {\displaystyle K\subsetneq L\wedge L\subsetneq M\Rightarrow K\subsetneq M.}

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

  • podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria), K L ¬ ( L K ) . {\displaystyle K\subsetneq L\Rightarrow \lnot (L\subsetneq K).}

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

Przykłady | edytuj kod

  • zbiór { 1 , 3 , 4 } {\displaystyle \{1,3,4\}} jest podzbiorem (właściwym) zbioru { 1 , 2 , 3 , 4 } , {\displaystyle \{1,2,3,4\},}
  • zbiór { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{1,2,3,4\}} zawiera się w { 1 , 2 , 3 , 4 } , {\displaystyle \{1,2,3,4\},}
  • zbiór { 1 , 2 , 4 , 5 } {\displaystyle \{1,2,4,5\}} nie jest podzbiorem zbioru { 1 , 2 , 3 , 4 } , {\displaystyle \{1,2,3,4\},}
  • zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
  • zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
  • zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w relacjach porządku, np. < , , > , . {\displaystyle <,\leqslant ,>,\geqslant .}

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 8.
  2. a b c d e f Rasiowa 1975 ↓, s. 10.
  3. a b c d Kuratowski 1980 ↓, s. 21.
  4. Ross i Wright 1998 ↓, s. 17.
  5. Tiuryn 1998 ↓, s. 4.
  6. a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 12.
  7. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 10.
  8. Kuratowski 1980 ↓, s. 22.
  9. Rasiowa 1975 ↓, s. 112.
  10. Kuratowski 1980 ↓, s. 74.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Podzbiór" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy