Okrąg


Okrąg w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Okrąg

Okrągzbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Jest to szczególny przypadek elipsy o równych półosiach, jest to także 1-wymiarowa hipersfera.

Okrąg jest brzegiem pewnego koła.

Spis treści

Okrąg w układzie współrzędnych | edytuj kod

Niech O ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle O(x_{0},\ y_{0})} będzie ustalonym punktem, zaś r {\displaystyle r} ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem jest zbiór punktów ( x ,   y ) {\displaystyle (x,\ y)} płaszczyzny euklidesowej spełniających równanie

( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 = r 2 . {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.}

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

{ x = x 0 + r cos α y = y 0 + r sin α , {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+r\cos \alpha \\y=y_{0}+r\sin \alpha \end{cases}},}

gdzie parametr α 0 ,   2 π ) . {\displaystyle \alpha \in [0,\ 2\pi ).}

W układzie współrzędnych biegunowych, równanie okręgu o promieniu r {\displaystyle r} i środku znajdującym się w biegunie układu współrzędnych, przyjmuje postać r ( φ ) = r = c o n s t {\displaystyle r(\varphi )=r=const} dla dowolnego kąta φ 0 , 2 π ) . {\displaystyle \varphi \in [0,2\pi ).}

Powiązane pojęcia | edytuj kod

Okrąg z zaznaczonymi: styczną, cięciwą, średnicą i promieniem

Punkt O {\displaystyle O} nazywany jest środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku O {\displaystyle O} i końcu w jednym z punktów okręgu nazywany jest promieniem, również długość r {\displaystyle r} nazywana jest tym terminem.

Sieczna jest to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywa się styczną do okręgu.

Cięciwą nazywa się odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia, tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d . {\displaystyle d.} Zachodzi równość d = 2 r . {\displaystyle d=2r.}

Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest stałą matematyczną oznaczaną literą π . {\displaystyle \pi .}

Stąd długość okręgu wyraża się wzorem:

L = 2 π r . {\displaystyle L=2\pi r.}

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (sam okrąg ma puste wnętrze, a więc i zerową powierzchnię) wyraża się wzorem:

S = π r 2 . {\displaystyle S=\pi r^{2}.}

Wzajemne położenie dwóch okręgów | edytuj kod

Rozpatrywane są dwa okręgi o środkach O 1 {\displaystyle O_{1}} i O 2 {\displaystyle O_{2}} oraz promieniach odpowiednio r 1 {\displaystyle r_{1}} i r 2 . {\displaystyle r_{2}.} Przez d ( O 1 , O 2 ) {\displaystyle d(O_{1},O_{2})} rozumieć należy odległość między środkami okręgów.

Na płaszczyźnie | edytuj kod

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

  • identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: O 1 = O 2 r 1 = r 2 , {\displaystyle O_{1}=O_{2}\land r_{1}=r_{2},}
  • współśrodkowe – mają ten sam środek: O 1 = O 2 , {\displaystyle O_{1}=O_{2},}
  • styczne wewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d ( O 1 , O 2 ) = | r 1 r 2 | , {\displaystyle d(O_{1},O_{2})=|r_{1}-r_{2}|,}
  • styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d ( O 1 , O 2 ) = r 1 + r 2 , {\displaystyle d(O_{1},O_{2})=r_{1}+r_{2},}
  • rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: d ( O 1 , O 2 ) < | r 1 r 2 | , {\displaystyle d(O_{1},O_{2})<|r_{1}-r_{2}|,} albo leżą na zewnątrz swoich kół: d ( O 1 , O 2 ) > r 1 + r 2 , {\displaystyle d(O_{1},O_{2})>r_{1}+r_{2},}
  • przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: | r 1 r 2 | < d ( O 1 , O 2 ) < r 1 + r 2 . {\displaystyle |r_{1}-r_{2}|<d(O_{1},O_{2})<r_{1}+r_{2}.}

W przestrzeni trójwymiarowej | edytuj kod

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

  • współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie,
  • identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
  • styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny,
  • rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
  • rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne | edytuj kod

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. Tak więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej ( X , ϱ ) {\displaystyle (X,\varrho )} okrąg ze środkiem x 0 {\displaystyle x_{0}} i promieniem r {\displaystyle r} to zbiór punktów

{ x : ϱ ( x 0 , x ) = r } . {\displaystyle \{x\colon \varrho (x_{0},x)=r\}.}

W tym rozumieniu często zamiast słowa „okrąg” stosuje się słowo „sfera”.

Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg, istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, w których okręgami są inne zbiory euklidesowe, np. kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach albo obrócony o 45°). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem jest zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest dwuwymiarowa sfera.

Okręgi jednostkowe w metrykach L 1 {\displaystyle L_{1}} (miasto), L 2 {\displaystyle L_{2}} (euklidesowej) oraz L (maksimum)


Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (anallagmatic curve):
Na podstawie artykułu: "Okrąg" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy