Obrót


Obrót w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Obrót dookoła punktu P {\displaystyle P} o kąt skierowany α {\displaystyle \alpha } jest to odwzorowanie geometryczne O P α {\displaystyle O_{P}^{\alpha }} płaszczyzny na siebie, takie, że:
1. jeśli P = Q {\displaystyle P=Q\,} , to O P α ( Q ) = P {\displaystyle O_{P}^{\alpha }(Q)=P}
2. jeśli P Q {\displaystyle P\neq Q} , to O P α ( Q ) = Q {\displaystyle O_{P}^{\alpha }(Q)=Q'} , gdzie P Q = P Q {\displaystyle PQ'=PQ\,} oraz kąty skierowane Q P Q  i  α {\displaystyle \angle QPQ'{\mbox{ i }}\alpha } są przystające.
Punkt P {\displaystyle P} nazywa się środkiem obrotu, a kąt α {\displaystyle \alpha } kątem obrotu O P α {\displaystyle O_{P}^{\alpha }} .

Jeżeli α {\displaystyle \alpha } jest kątem zerowym lub kątem pełnym, to niezależnie od punktu P {\displaystyle P} , obrót O P α {\displaystyle O_{P}^{\alpha }} jest odwzorowaniem tożsamościowym, które nazywane jest obrotem zerowym.

Obrót płaszczyzny o kąt skierowany półpełny jest symetrią środkową.

Każdy obrót płaszczyzny można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przechodzących przez środek obrotu i tworzących kąt o mierze równej połowie miary kąta obrotu. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: złożenie dwóch symetrii osiowych S l 2 S l 1 {\displaystyle S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}} o osiach l 1 {\displaystyle l_{1}} i l 2 {\displaystyle l_{2}} przecinających się w punkcie P {\displaystyle P} jest obrotem dookoła punktu P {\displaystyle P} o kąt skierowany dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez proste l 1 {\displaystyle l_{1}} i l 2 {\displaystyle l_{2}} .

Obrót O P α {\displaystyle O_{P}^{\alpha }} jest izometrią parzystą płaszczyzny, mającą przynajmniej jeden punkt stały.
Okręgi i koła o środku w punkcie P {\displaystyle P\,} są figurami stałymi obrotu O P α {\displaystyle O_{P}^{\alpha }} .

Obrót wokół początku układu współrzędnych na płaszczyźnie o kąt β {\displaystyle \beta \,} punktu P = ( x , y ) {\displaystyle P=(x,y)\,} można opisać wzorem analitycznym O ( 0 , 0 ) β ( P ) = ( x , y ) {\displaystyle O_{(0,0)}^{\beta }(P)=(x^{\prime },y^{\prime })} , gdzie

{ x = x cos β y sin β y = x sin β + y cos β {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x^{\prime }=x\cdot \cos \beta -y\cdot \sin \beta \\y^{\prime }=x\cdot \sin \beta +y\cdot \cos \beta \end{array}}\right.} .

Obrót na płaszczyźnie zespolonej punktu z = x + i y {\displaystyle z=x+iy\,} wokół początku układu współrzędnych o kąt ϕ {\displaystyle \phi \,} można wyrazić wzorem O 0 ϕ ( z ) = z ( cos ϕ + i sin ϕ ) {\displaystyle O_{0}^{\phi }(z)=z(\cos \phi +i\sin \phi )} .

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Obrót" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy