Obrót

Obrót w encyklopedii

Obrót dookoła punktu ${\displaystyle P}$ o kąt skierowany ${\displaystyle \alpha }$ jest to odwzorowanie geometryczne ${\displaystyle O_{P}^{\alpha }}$ płaszczyzny na siebie, takie, że:
1. jeśli ${\displaystyle P=Q\,}$, to ${\displaystyle O_{P}^{\alpha }(Q)=P}$
2. jeśli ${\displaystyle P\neq Q}$, to ${\displaystyle O_{P}^{\alpha }(Q)=Q'}$, gdzie ${\displaystyle PQ'=PQ\,}$ oraz kąty skierowane ${\displaystyle \angle QPQ'{\mbox{ i }}\alpha }$ są przystające.
Punkt ${\displaystyle P}$ nazywa się środkiem obrotu, a kąt ${\displaystyle \alpha }$ kątem obrotu ${\displaystyle O_{P}^{\alpha }}$.

Jeżeli ${\displaystyle \alpha }$ jest kątem zerowym lub kątem pełnym, to niezależnie od punktu ${\displaystyle P}$, obrót ${\displaystyle O_{P}^{\alpha }}$ jest odwzorowaniem tożsamościowym, które nazywane jest obrotem zerowym.

Obrót płaszczyzny o kąt skierowany półpełny jest symetrią środkową.

Każdy obrót płaszczyzny można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przechodzących przez środek obrotu i tworzących kąt o mierze równej połowie miary kąta obrotu. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: złożenie dwóch symetrii osiowych ${\displaystyle S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}}$ o osiach ${\displaystyle l_{1}}$ i ${\displaystyle l_{2}}$ przecinających się w punkcie ${\displaystyle P}$ jest obrotem dookoła punktu ${\displaystyle P}$ o kąt skierowany dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez proste ${\displaystyle l_{1}}$ i ${\displaystyle l_{2}}$.

Obrót ${\displaystyle O_{P}^{\alpha }}$ jest izometrią parzystą płaszczyzny, mającą przynajmniej jeden punkt stały.
Okręgi i koła o środku w punkcie ${\displaystyle P\,}$ są figurami stałymi obrotu ${\displaystyle O_{P}^{\alpha }}$.

Obrót wokół początku układu współrzędnych na płaszczyźnie o kąt ${\displaystyle \beta \,}$ punktu ${\displaystyle P=(x,y)\,}$ można opisać wzorem analitycznym ${\displaystyle O_{(0,0)}^{\beta }(P)=(x^{\prime },y^{\prime })}$, gdzie

Obrót na płaszczyźnie zespolonej punktu ${\displaystyle z=x+iy\,}$ wokół początku układu współrzędnych o kąt ${\displaystyle \phi \,}$ można wyrazić wzorem ${\displaystyle O_{0}^{\phi }(z)=z(\cos \phi +i\sin \phi )}$.

Zobacz też | edytuj kod

• grupa obrotów
• grupa SO(2)
• grupa SO(3)
• grupa SU(2)

Na podstawie artykułu: "Obrót" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy