Miara kąta


Miara kąta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara kąta – wielkość kąta wyrażona w odpowiednich jednostkach. W matematyce i jej zastosowaniach teoretycznych używa się miary łukowej.

Jest to długość łuku wyciętego przez kąt z okręgu o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta. Tak określona miara wyraża się liczbą niemianowaną (bezwymiarową) i może przyjmować wartości z zakresu 0 do 2π. Jednostkę miary łukowej nazywamy radianem.

W życiu codziennym używa się zwykle miary stopniowej. Kąt pełny dzieli się na 360 stopni kątowych (symbol: °), każdy z nich na 60 minut kątowych (symbol: ′), a każdą z nich na 60 sekund kątowych (symbol: ″). Ułamki sekund kątowych podawane są już dziesiętnie.

Tę właśnie miarę wykorzystuje się w popularnych kątomierzach.

W praktyce militarnej i geodezyjnej stosowany bywa podział kąta pełnego na 400 gradów (lub gradusów, symbol: g), z których każdy dzieli się na 100 centygradów (symbol: c), a każdy z nich na 100 myriogradów (symbol: cc). Podział taki ułatwia ręczne (pisemne) dodawanie i odejmowanie, ponieważ przeniesienia i pożyczki wykonuje się jak przy zwykłych liczbach dziesiętnych, bez konieczności przeliczania na 60 i 90 jednostek.

W pomiarach nachylenia nawierzchni używa się miary procentowej (np. przy określeniu nachylenia nawierzchni drogi). Przykładowo 1% oznacza zmianę wysokości o 1 cm na 100 cm długości. Oblicza się to według wzoru:

N a c h y l e n i e = H L 100 , {\displaystyle Nachylenie={\frac {H}{L}}\cdot 100,} gdzie L to długość danego fragmentu stoku, a H wysokość tego fragmentu.

Miara kąta potocznie nazywana jest kątem.

Używa się również (gł. w artylerii) jednostki zwanej tysiączną. Definiuje się ją jako miarę kąta środkowego, który z okręgu o promieniu 1km wycina łuk o długości 1m. Tysięczna rzeczywista jest więc równa 1/1000 radiana, w przybliżeniu 1/6283,2 kąta pełnego. Spotyka się też definicje:

tysięczna artyleryjska
1 ma = 1/6400 kąta pełnego
tysięczna Rimailho
1 mR = 1/6000 kąta pełnego

zatem na kilometrowym okręgu:

Dla porównania:

Porównanie miar | edytuj kod

Argumenty funkcji trygonometrycznych dla liczb rzeczywistych można zinterpretować jako miarę kąta. Matematycy używają jednak praktycznie wyłącznie radianów. Miara stopniowa jest dość popularna, jednak w stosunku do radianów powoduje pewne komplikacje przy obliczeniach trygonometrycznych:

Dla kątów bliskich zeru długość łuku okręgu jednostkowego (czyli kąt wyrażony w radianach) jest w przybliżeniu równa wartości funkcji sinus, stąd pochodna funkcji sinus dla x = 0 {\displaystyle x=0} wynosi 1. 1 jest też wartością funkcji cosinus dla x = 0. {\displaystyle x=0.} Okazuje się, że ogólnie:

sin x = cos x {\displaystyle \sin 'x=\cos x} sin x = sin x {\displaystyle \sin ''x=-\sin x} sin x = cos x {\displaystyle \sin '''x=-\cos x} sin x = sin x {\displaystyle \sin ''''x=\sin x}

Tak jest jednak tylko dla kątów wyrażonych w radianach (miara łukowa).

Oznaczmy na potrzeby tej sekcji funkcje sinus i cosinus dla stopni przez sin deg x = sin π 180 x {\displaystyle \sin _{\deg }x=\sin {\tfrac {\pi }{180}}x} oraz cos deg x = cos π 180 x . {\displaystyle \cos _{\deg }x=\cos {\tfrac {\pi }{180}}x.}

Teraz:

sin deg x = π 180 cos deg x {\displaystyle \sin _{\deg }'x={\tfrac {\pi }{180}}\cos _{\deg }x} sin deg x = π 2 180 2 sin deg x {\displaystyle \sin _{\deg }''x=-{\tfrac {\pi ^{2}}{180^{2}}}\sin _{\deg }x} sin deg x = π 3 180 3 cos deg x {\displaystyle \sin _{\deg }'''x=-{\tfrac {\pi ^{3}}{180^{3}}}\cos _{\deg }x} sin deg x = π 4 180 4 sin deg x {\displaystyle \sin _{\deg }''''x={\tfrac {\pi ^{4}}{180^{4}}}\sin _{\deg }x}

We wzorach pojawiły się dodatkowe współczynniki. Takie współczynniki są różne od 1 przy każdej mierze kąta oprócz miary łukowej (radianów). Podobne utrudnienia powstałyby także w rozwinięciach funkcji trygonometrycznych w postaci szeregów (omówione są tutaj) i w wielu innych miejscach w analizie matematycznej.

Ponadto miara łukowa ma prostą interpretację geometryczną: jest to długość części okręgu jednostkowego o środku w wierzchołku kąta zawartej w danym kącie.

Miara łukowa jest więc w pewnym sensie wyróżniona wśród wszelkich możliwych miar kątów i najbardziej naturalna, dlatego powszechnie stosuje się ją w matematyce i do niej dostosowane są definicje funkcji trygonometrycznych.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Miara kąta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy