Liczby całkowite


Liczby całkowite w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby całkowiteliczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , } {\displaystyle \mathbb {N} _{+}=\{1,2,3,\dots \}} oraz liczby przeciwne do nich { 1 , 2 , 3 , } , {\displaystyle \{-1,-2,-3,\dots \},} a także liczba zero. Są uogólnieniem zbioru liczb naturalnych na zbiór, w którym wykonalne jest odejmowanie. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy w matematyce symbolem Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (od niem. Zahlen – liczby). W Polsce w większości szkół podstawowych i średnich, w celu ułatwienia skojarzenia z polską nazwą, stosuje się symbol C , {\displaystyle \mathbf {C} ,} przy czym MEN zaleca używanie oznaczenia Z {\displaystyle \mathbb {Z} } [1].

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru N 0 × N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}} relacji równoważności

( a , b ) ( c , d ) a + d = b + c . {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff a+d=b+c.}

Intuicyjnie ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} reprezentuje różnicę a b . {\displaystyle a-b.}

Niech ( a , b ) {\displaystyle [(a,b)]} oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).} Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze N 0 × N 0 / {\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}/\sim } definiuje się jako:

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) , {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],} ( a , b ) ( c , d ) = ( a c + b d , a d + b c ) . {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].}

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera.

Zerem tego pierścienia jest ( 0 , 0 ) , {\displaystyle [(0,0)],} elementem przeciwnym do ( a , b ) {\displaystyle [(a,b)]} jest element ( b , a ) . {\displaystyle [(b,a)].} Jedynką jest ( 1 , 0 ) . {\displaystyle [(1,0)].}

Podzbiór elementów postaci ( a , 0 ) {\displaystyle [(a,0)]} jest izomorficzny z N 0 . {\displaystyle \mathbb {N} _{0}.}

Ponieważ ( a , b ) = ( a , 0 ) + ( 0 , b ) {\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]+[(0,b)]} oraz ( 0 , b ) {\displaystyle [(0,b)]} elementem przeciwnym do ( b , 0 ) , {\displaystyle [(b,0)],} więc

( a , b ) = ( a , 0 ) ( b , 0 ) . {\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]-[(b,0)].}

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczby ( a , b ) , {\displaystyle [(a,b)],} dla których a > b {\displaystyle a>b} nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby ( a , b ) , {\displaystyle [(a,b)],} dla których a < b {\displaystyle a<b} nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Liczność | edytuj kod

Zbiór liczb całkowitych Z {\displaystyle \mathbb {Z} } jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N , {\displaystyle \mathbb {N} ,} gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna f : Z N {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} } przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

f ( x ) = { 2 x , gdy  x > 0 2 x + 1 , gdy  x 0 . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x,&{\text{gdy }}x>0\\-2x+1,&{\text{gdy }}x\leqslant 0\end{cases}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 stycznia 2018 r. w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia. Dz.U. 2018, poz. 467. [dostęp 2018-03-19].
Kontrola autorytatywna (rodzaj liczby):
Na podstawie artykułu: "Liczby całkowite" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy