Inwersja (geometria)


Inwersja (geometria) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Inwersja – rodzaj przekształcenia geometrycznego; można je sobie wyobrażać jako „wywinięcie” wnętrza ustalonego koła na zewnątrz i „zawinięcie” zewnętrza tego koła do jego wnętrza. Do kluczowych własności inwersji należą: zachowywanie kątów (nieskierowanych) oraz fakt, iż obrazami uogólnionych okręgów (tzn. okręgów lub prostych interpretowanych jako okręgi o nieskończonym promieniu) są uogólnione okręgi. Pojęcie to uogólnia się na przestrzenie wyższego wymiaru, zob. Uogólnienia.

Choć inwersje można zdefiniować dla płaszczyzny euklidesowej (lub ogólniej: afinicznej), to naturalnym miejscem badania tych przekształceń jest płaszczyzna inwersyjna rozszerzająca płaszczyznę o nienależący do niej punkt {\displaystyle \infty } nazywany punktem w nieskończoności (nieskończenie dalekim, niewłaściwym, idealnym). Dodanie punktu {\displaystyle \infty } do liczb zespolonych (zob. uzwarcenie) daje zespoloną prostą rzutową nazywaną często sferą Riemanna.

Definicja | edytuj kod

Punkt P {\displaystyle \mathrm {P} } jest przekształcany w inwersji względem okręgu o środku O {\displaystyle \mathrm {O} } na punkt P . {\displaystyle \mathrm {P} '.}

Inwersją względem okręgu c ( o , r ) {\displaystyle c(\mathrm {o} ,r)} nazywa się przekształcenie x x {\displaystyle \mathrm {x} \mapsto \mathrm {x} '} płaszczyzny euklidesowej spełniające warunki:

x o x {\displaystyle \mathrm {x} '\in \mathrm {ox} ^{\rightarrow }}

oraz

| o x | | o x | = r 2  dla  x o . {\displaystyle |\mathrm {ox} ||\mathrm {ox'} |=r^{2}\quad {\text{ dla }}\mathrm {x} \neq \mathrm {o} .}

Na płaszczyźnie inwersyjnej dodaje się jeszcze dwa warunki, dzięki którym przekształcenie inwersyjne jest określone dla wszystkich jej punktów:

o  oraz  o . {\displaystyle \mathrm {o} \mapsto \infty \quad {\text{ oraz }}\quad \infty \mapsto \mathrm {o} .}

Własności | edytuj kod

Inwersja względem okręgu o środku O {\displaystyle \mathrm {O} } przekształca okrąg przechodzący przez punkt O {\displaystyle \mathrm {O} } na prostą nieprzechodzącą przez ten punkt (i odwrotnie). Obrazem inwersyjnym okręgu nieprzechodzącego przez środek O {\displaystyle \mathrm {O} } okręgu inwersyjnego jest okrąg nieprzechodzący przez ten punkt.

Punktami stałymi inwersji są punkty okręgu inwersyjnego. Ponadto przekształca ona uogólnione okręgi (okręgi i proste) na uogólnione okręgi, dokładniej:

  • Przekształca proste nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego na okręgi przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego (i na odwrót); odwzorowuje w siebie proste przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego.
  • Odwzorowuje okręgi nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego na okręgi nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego; uogólniony okrąg przechodzi w siebie wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do okręgu inwersyjnego w ich punktach przecięcia.

Wymienione przekształcenia można odwrócić, gdyż inwersja jest inwolucją. Dodatkowo inwersje są odwzorowaniami wiernokątnymi, tzn. zachowują kąty między krzywymi (w szczególności: prostymi i okręgami), lecz zmieniają znak miary kątów skierowanych (są antykonforemne).

Złożenie dwóch inwersji względem współśrodkowych okręgów o promieniach r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} jest złożeniem dwóch jednokładności o skali ( r 1 / r 2 ) 2 . {\displaystyle (r_{1}/r_{2})^{2}.}

Odwrotność zespolona | edytuj kod

Ponieważ punktowi płaszczyzny można przypisać liczbę zespoloną z , {\displaystyle z,} to można zdefiniować inwersję względem okręgu jednostkowego za pomocą odwrotności z ¯ 1 = z | z | 2 , {\displaystyle {\bar {z}}^{-1}={\frac {z}{|z|^{2}}},} gdzie z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} oznacza sprzężenie liczby z . {\displaystyle z.}

Odwrotność zespolona jest obok przesunięć równoległych i obrotów generatorem grupy Möbiusa. To właśnie odwrotność nadaje osobliwy ton geometrii Möbiusa utożsamianej czasem z geometrią inwersyjną (płaszczyzny euklidesowej). Geometria inwersyjna jest bogatsza niż geometria Möbiusa, gdyż operuje się w nim odwzorowaniem inwersyjnym nieprzekształconym poprzez sprzężenie w odwrotność. W ten sposób zawiera ona także sprzężenie, z kolei grupa Möbiusa nie zawiera ani sprzężenia, a co za tym idzie inwersji względem okręgu, gdyż nie są one konforemne (elementami tej grupy są funkcje analityczne płaszczyzny, które są konforemne).

Uogólnienia | edytuj kod

 Zobacz też: geometria inwersyjna.

Inwersja względem okręgu uogólnia się na inwersję względem sfery w przestrzeni trójwymiarowej mutatis mutandis. Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym obrazem inwersyjnym sfery jest sfera, ale gdy przechodzi ona przez środek sfery inwersyjnej, to jest ona przekształcana w płaszczyznę; dowolna płaszczyzna nie przechodząca przez środek sfery inwersyjnej jest przekształcana w inwersji na sferę zawierającą środek sfery inwersyjnej.

Rzut stereograficzny to przypadek szczególny inwersji sfery. Niech dana będzie sfera B {\displaystyle B} o promieniu jednostkowym i płaszczyzna P {\displaystyle P} styczna z B {\displaystyle B} w biegunie południowym S {\displaystyle S} sfery B . {\displaystyle B.} Wówczas P {\displaystyle P} jest rzutem stereograficznym B {\displaystyle B} względem bieguna północnego N {\displaystyle N} sfery B . {\displaystyle B.} Inwersja względem sfery B 2 {\displaystyle B_{2}} o promieniu 2 i środku N {\displaystyle N} przekształca B {\displaystyle B} na jej rzut stereograficzny P . {\displaystyle P.}

Geometria inwersyjna służy badaniu przekształceń generowanych przez przekształcenia euklidesowe wraz z inwersją względem n {\displaystyle n} -sfery,

x i r 2 x i j x j 2 , {\displaystyle x_{i}\mapsto {\frac {r^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}},}

gdzie r {\displaystyle r} oznacza promień inwersji. Na płaszczyźnie, dla r = 1 , {\displaystyle r=1,} powyższy wzór opisuje inwersję względem okręgu jednostkowego.

Odwzorowania konforemne przestrzeni wyższych wymiarów można opisać jako złożenia inwersji względem hipersfer lub hiperpłaczyzn oraz ruchów euklidesowych, o czym mówi twierdzenie Liouville'a o odwzorowaniach konforemnych.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Inwersja (geometria)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy