Geometria uporządkowania


Geometria uporządkowania w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Geometria uporządkowania – geometria, której jedynymi pojęciami pierwotnymi są punkty A, B, C, ... oraz trzyargumentowa relacja leżenia między ABC [1]. W geometrii tej, podobnie jak w geometrii rzutowej, pomija się pojęcie odległości (metryki). Geometria uporządkowania jest bazą dla geometrii absolutnej i geometrii afinicznej[2] (ale nie dla geometrii rzutowej).

Aksjomatyka geometrii uporządkowania | edytuj kod

Według Coxetera[3].

Pojęcia pierwotne | edytuj kod

  1. zbiór, którego elementy są nazywane punktami i oznaczane A, B, C, …
  2. relacja trójargumentowa na punktach ABC odczytywana „punkt B leży między punktami A i C ”.

Definicje | edytuj kod

Podział prostej AB punktami A i B na odcinek otwarty (fioletowy) i dwa promienie: A/B (zielony) i B/A (czerwony; punkty A i B nie należą do żadnego z trzech zbiorów podziału).
  1. Odcinek otwarty AB jest zbiorem wszystkich takich punktów P, że APB.
  2. Odcinek domknięty A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} jest sumą odcinka otwartego AB i zbioru {A, B}.
  3. Promień A/B[4] jest zbiorem wszystkich takich punktów P, że PAB. Promień A/B nie zawiera punktu A.
  4. Prosta AB jest sumą odcinka domkniętego A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} i promieni A/B i B/A.
  5. Jeżeli punkty A, B i C nie leżą na jednej prostej (czyli są niewspółliniowe), to definiują one trójkąt ABC, który składa się z trzech wierzchołków A, B i C oraz trzech boków będących odcinkami otwartymi AB, BC i CA.
  6. Jeżeli A, B i C są trzema niewspółliniowymi punktami, to płaszczyzna ABC jest zbiorem wszystkich punktów współliniowych z parami punktów leżących na jednym lub na dwóch bokach trójkąta ABC

Aksjomaty | edytuj kod

Aksjomat Pascha w geometrii uporządkowania (siódmy w spisie)
  1. Istnieją co najmniej dwa punkty.
  2. Jeżeli A i B są dwoma różnymi punktami, to istnieje co najmniej jeden punkt C, dla którego ABC.
  3. Jeżeli ABC, to AC.
  4. Jeżeli ABC, to CBA, ale nie BCA.
  5. Jeżeli C i D są różnymi punktami na prostej AB, to A znajduje się na prostej CD.
  6. Jeżeli AB jest prostą, to istnieje punkt C nie leżący na tej prostej.
  7. Jeżeli ABC jest trójkątem oraz zachodzą relacje BCD i CEA, to na prostej DE znajduje się punkt F, dla którego AFB (Aksjomat Pascha).
  8. Wszystkie punkty leżą w tej samej płaszczyźnie[5].
  9. Dla każdego podziału zbioru wszystkich punktów prostej na dwa niepuste zbiory, takie że żaden punkt jednego nie leży między dwoma punktami drugiego, istnieje punkt należący do jednego zbioru, który leży między każdym innym punktem tego zbioru a każdym punktem drugiego zbioru (Aksjomat ciągłości, zw. też pewnikiem Dedekinda).

Najprostsze własności | edytuj kod

W każdym odcinku otwartym AB można znaleźć jakiś punkt C.
  • Jeżeli ABC, to nie CAB.

Dowód. Gdyby CAB, to na mocy aksjomatu 4. nie ABC, wbrew założeniu, co dowodzi tezy.

  • Jeżeli ABC, to punkty A, B i C są różne.

Dowód. Gdyby B = C, to na podstawie aksjomatu 4. byłoby jednocześnie BBA i nie BBA, czyli sprzeczność. Jeżeli B = A na mocy aksjomatu 4. CBA, czyli jednocześnie ABC i nie BAC, czyli jednocześnie AAC i nie AAC, co jest sprzeczne. Zatem BC, AB. Ponieważ z aksjomatu 3. AC, więc wszystkie punkty są różne. Z aksjomatu 5. wynika twierdzenie:

  • Jeżeli C i D są różnymi punktami na prostej AB, to proste AB i CD są identyczne.

Pociąga ona za sobą ważne własności prostych:

  • Dwa różne punkty leżą na dokładnie jednej prostej.
  • Dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny.
  • Jeśli punkty A, B i C leżą na jednej prostej, to spełniona jest jedna z relacji ABC, BCA lub CAB.

Z aksjomatu 6. wynika, że:

  • Jeśli A, B i C nie leżą na jednej prostej, to proste AB, BC i CA są różne.
  • Dla dowolnych dwóch punktów A i B istnieje taki punkt C, że ACB.

Dowód. Z aksjomatu 6. wynika, że istnieje punkt E nienależący do prostej AB (zielona prosta na rysunku). Z aksjomatu 2. wynika, że istnieje taki punkt F, że BEF oraz taki punkt G, że AFG. Na podstawie aksjomatu 7. istnieje na prostej GE taki punkt C, że ACB.

Definicja afiniczna geometrii uporządkowania na płaszczyźnie | edytuj kod

Emil Artin w swojej książce Algebra geometryczna zaproponował nieco inne podejście do geometrii uporządkowania, bardziej użyteczne przy algebraicznym ujęciu problemu: Płaszczyznę nazywamy uporządkowaną, jeśli:

  1. Zbiór punktów na każdej prostej jest liniowo uporządkowany.
  2. Rzut równoległy punktów jednej prostej na drugą prostą albo zachowuje uporządkowanie, albo zmienia je na przeciwne[6].

Podstawowym wynikiem w tak rozwijanej geometrii uporządkowania jest następujące twierdzenie:

Geometria uporządkowania na płaszczyźnie kanonicznie indukuje ciało słabo uporządkowane k, a słabe uporządkowanie ciała k kanonicznie indukuje geometrię uporządkowania.[7]

Przypisy | edytuj kod

  1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 195.
  2. Coxeter, op. cit., s. 194
  3. Coxeter, op. cit., s. 194-196, 203, 205
  4. Promień A/B (wychodzący z punktu A i nieprzechodzący przez punkt B) nazywany jest często półprostą A/B.
  5. Geometrię uporządkowania można rozszerzyć na przestrzeń. Potrzebne są jednak wtedy dwa dodatkowe aksjomaty: istnienia punktu poza płaszczyzną i zawierania się wszystkich punktów w przestrzeni. Coxeter, op. cit., s. 203
  6. Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LTD., 1957., tłum. ros. 1969, s.106
  7. Artin, op. cit., s. 106

Bibliografia | edytuj kod

  • Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LTD., 1957.
Na podstawie artykułu: "Geometria uporządkowania" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy