Funkcje hiperboliczne


Funkcje hiperboliczne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcje hiperbolicznefunkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej będących sumą, różnicą lub ilorazem funkcji eksponencjalnych określone następująco:

  • sinus hiperboliczny: sinh x = e x e x 2 {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} (oznaczany również sh x {\displaystyle \operatorname {sh} x} ),
  • cosinus hiperboliczny: cosh x = e x + e x 2 {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} (oznaczany również ch x {\displaystyle \operatorname {ch} x} ),
  • tangens hiperboliczny: tgh x = sinh x cosh x = e x e x e x + e x {\displaystyle \operatorname {tgh} x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}} (oznaczany również th x {\displaystyle \operatorname {th} x} lub tanh x {\displaystyle \tanh x} ),
  • cotangens hiperboliczny: ctgh x = cosh x sinh x = e x + e x e x e x {\displaystyle \operatorname {ctgh} x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}} (oznaczany również cth x {\displaystyle \operatorname {cth} x} lub coth x {\displaystyle \coth x} ),
  • secans hiperboliczny: sech x = 1 cosh x = 2 e x + e x , {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}},}
  • cosecans hiperboliczny: csch x = 1 sinh x = 2 e x e x . {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}.}

Funkcje te mają interesujące własności matematyczne analogiczne do własności funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli x 2 y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} (jej prawej, dodatniej części). Zostały wprowadzone do nauki przez włoskiego matematyka Vincenzo Riccatiego, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiem[1]. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji. Upowszechnił je szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał in skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego[2].

Spis treści

Związki trygonometryczne | edytuj kod

 Zobacz też: funkcje trygonometryczne.

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci ( cos x , sin x ) {\displaystyle (\cos x,\sin x)} jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci ( cosh x , sinh x ) {\displaystyle (\cosh x,\sinh x)} wyznacza hiperbolę.

Prawdziwe są również wzory:

sinh 2 t = 2 sinh t cosh t , {\displaystyle \sinh 2t=2\sinh t\cosh t,} cosh 2 t = cosh 2 t + sinh 2 t , {\displaystyle \cosh 2t=\cosh ^{2}t+\sinh ^{2}t,} sinh x + cosh x = e x . {\displaystyle \sinh x+\cosh x=e^{x}.}

Ponadto korzystając ze wzoru Eulera

e i x = cos x + i sin x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:

sinh i x = i sin x , {\displaystyle \sinh ix=i\sin x,} cosh i x = cos x , {\displaystyle \cosh ix=\cos x,} tgh i x = i tg x , {\displaystyle \operatorname {tgh} ix=i\operatorname {tg} x,} ctgh i x = i ctg x , {\displaystyle \operatorname {ctgh} ix=-i\operatorname {ctg} x,}

skąd:

sinh x = i sin i x , {\displaystyle \sinh x=-i\sin ix,} cosh x = cos i x , {\displaystyle \cosh x=\cos ix,} tgh x = i tg i x , {\displaystyle \operatorname {tgh} x=-i\operatorname {tg} ix,} ctgh x = i ctg i x . {\displaystyle \operatorname {ctgh} x=i\operatorname {ctg} ix.}

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem 2 π i {\displaystyle 2\pi i} (sinh, cosh, sech, csech), albo π i {\displaystyle \pi i} (tgh, ctgh).

Właściwości | edytuj kod

Jeśli φ {\displaystyle \varphi } oznacza złotą proporcję, to:

  • sinh ln φ = 1 2 , {\displaystyle \sinh \ln \varphi ={\tfrac {1}{2}},}
  • cosh ln φ = 1 2 5 . {\displaystyle \cosh \ln \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}.}

Zależności hiperboliczne | edytuj kod

 Osobny artykuł: jedynka hiperboliczna.

Odpowiednikiem wzoru jedynkowego sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:

cosh 2 x sinh 2 x = 1. {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1.}

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne i całki | edytuj kod

sinh x = cosh x , {\displaystyle \sinh 'x=\cosh x,} cosh x = sinh x , {\displaystyle \cosh 'x=\sinh x,} tgh x = 1 cosh 2 x = 1 tgh 2 x , {\displaystyle \operatorname {tgh} 'x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=1-{\operatorname {tgh} ^{2}x},} ctgh x = 1 sinh 2 x = 1 ctgh 2 x . {\displaystyle \operatorname {ctgh} 'x={\frac {-1}{\sinh ^{2}x}}=1-{\operatorname {ctgh} ^{2}x}.}

Rozwinięcia | edytuj kod

Szeregi potęgowe
sinh z = n = 0 z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = z + 1 3 ! z 3 + 1 5 ! z 5 + 1 7 ! z 7 + , {\displaystyle \sinh z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}=z+{\frac {1}{3!}}z^{3}+{\frac {1}{5!}}z^{5}+{\frac {1}{7!}}z^{7}+\dots ,} cosh z = n = 0 z 2 n ( 2 n ) ! = 1 + 1 2 ! z 2 + 1 4 ! z 4 + 1 6 ! z 6 + . {\displaystyle \cosh z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {1}{2!}}z^{2}+{\frac {1}{4!}}z^{4}+{\frac {1}{6!}}z^{6}+\cdots .}
Iloczyny nieskończone
sinh x = x n = 1 ( 1 + x 2 π 2 n 2 ) , {\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),} cosh x = n = 1 ( 1 + x 2 π 2 ( n 1 2 ) 2 ) . {\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right).}

Funkcje odwrotne | edytuj kod

 Osobny artykuł: funkcje hiperboliczne odwrotne.

Funkcje hiperboliczne mają funkcje odwrotne zwane funkcjami polowymi (lub area). Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.

Wykresy | edytuj kod

Oto wykres funkcji sinh:

Wykres funkcji cosh ma kształt krzywej łańcuchowej:

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Robert E. Bradley, Lawrence A. D’Antonio, Charles Edward Sandifer, Euler at 300: an appreciation, Mathematical Association of America, 2007, s. 100.
  2. Georg F. Becker, Hyperbolic functions, Read Books, 1931, s. xlviii.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (Funkcje elementarne):
Na podstawie artykułu: "Funkcje hiperboliczne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy