Funkcje cyklometryczne


Funkcje cyklometryczne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

  • arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale π 2 , π 2 . {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].} W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale 1 ; 1 {\displaystyle \left[-1;1\right]} (czyli obrazie przedziału π 2 , π 2 {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]} przez funkcję sin {\displaystyle \sin } ).
  • arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale 0 , π . {\displaystyle \left[0,\pi \right].} W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale 1 ; 1 {\displaystyle \left[-1;1\right]} (czyli obrazie przedziału 0 , π {\displaystyle \left[0,\pi \right]} przez funkcję cos {\displaystyle \cos } ).
  • arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale ( π 2 , π 2 ) . {\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right).} W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} } (czyli obrazie przedziału ( π 2 , π 2 ) {\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)} przez funkcję tg {\displaystyle \operatorname {tg} } ).
  • arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale ( 0 , π ) . {\displaystyle \left(0,\pi \right).} W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} } (czyli obrazie przedziału ( 0 , π ) {\displaystyle \left(0,\pi \right)} przez funkcję ctg {\displaystyle \operatorname {ctg} } ).
  • arcus secans jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale 0 , π . {\displaystyle \left[0,\pi \right].} W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): 0 , π 2 ) , {\displaystyle \left[0,{\tfrac {\pi }{2}}\right),} ( π 2 , π , {\displaystyle \left({\tfrac {\pi }{2}},\pi \right],} wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale ( , 1 1 , + ) {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)} (czyli obrazie przedziału 0 , π {\displaystyle \left[0,\pi \right]} przez funkcję sec {\displaystyle \sec } ).
  • arcus cosecans jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale π 2 , π 2 . {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right].} W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): π 2 , 0 ) , {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},0\right),} ( 0 , π 2 , {\displaystyle \left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right],} wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale ( , 1 1 , + ) {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)} (czyli obrazie przedziału π 2 , π 2 {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]} przez funkcję csc {\displaystyle \csc } ).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

  • arcsin   x = y {\displaystyle \arcsin \ x=y} gdy sin   y = x {\displaystyle \sin \ y=x}
  • arccos   x = y {\displaystyle \arccos \ x=y} gdy cos   y = x {\displaystyle \cos \ y=x}
  • arctg   x = y {\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=y} gdy tg   y = x {\displaystyle \operatorname {tg} \ y=x}
  • arcctg   x = y {\displaystyle \operatorname {arcctg} \ x=y} gdy ctg   y = x {\displaystyle \operatorname {ctg} \ y=x}
  • arcsec   x = y {\displaystyle \operatorname {arcsec} \ x=y} gdy sec   y = x {\displaystyle \sec \ y=x}
  • arccsc   x = y {\displaystyle \operatorname {arccsc} \ x=y} gdy csc   y = x {\displaystyle \csc \ y=x}

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

  • arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest 1 ; 1 , {\displaystyle \left[-1;1\right],} a przeciwdziedziną π 2 , π 2 {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
  • arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest 1 ; 1 , {\displaystyle \left[-1;1\right],} a przeciwdziedziną 0 , π {\displaystyle \left[0,\pi \right]}
  • arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} a przeciwdziedziną ( π 2 , π 2 ) {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}
  • arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} a przeciwdziedziną ( 0 , π ) {\displaystyle \left(0,\pi \right)}
  • arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: ( , 1 , {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right],} 1 , + ) . {\displaystyle \left[1,+\infty \right).} Jej dziedziną jest ( , 1 1 , + ) , {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),} a przeciwdziedziną 0 , π { π 2 } . {\displaystyle \left[0,\pi \right]\setminus \{{\frac {\pi }{2}}\}.}
  • arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: ( , 1 , {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right],} 1 , + ) . {\displaystyle \left[1,+\infty \right).} Jej dziedziną jest ( , 1 1 , + ) , {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right),} a przeciwdziedziną π 2 , π 2 { 0 } {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi | edytuj kod

arcsin   x + arccos   x = π 2 d l a   x < 1 ; 1 > {\displaystyle \arcsin \ x+\arccos \ x={\frac {\pi }{2}}\quad dla\ x\in <-1;1>} arctg   x + arcctg   x = π 2 d l a   x R {\displaystyle \operatorname {arctg} \ x+\operatorname {arcctg} \ x={\frac {\pi }{2}}\quad dla\ x\in \mathbb {R} } arcsec   x + arccsc   x = π 2 {\displaystyle \operatorname {arcsec} \ x+\operatorname {arccsc} \ x={\frac {\pi }{2}}}

Argumenty ujemne:

arcsin   ( x ) = arcsin   x {\displaystyle \arcsin \ (-x)=-\arcsin \ x} arccos   ( x ) = π arccos   x {\displaystyle \arccos \ (-x)=\pi -\arccos \ x} arctg   ( x ) = arctg   x {\displaystyle \operatorname {arctg} \ (-x)=-\operatorname {arctg} \ x} arcctg   ( x ) = π arcctg   x {\displaystyle \operatorname {arcctg} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \ x} arcsec   ( x ) = π arcsec   x {\displaystyle \operatorname {arcsec} \ (-x)=\pi -\operatorname {arcsec} \ x} arccsc   ( x ) = arccsc   x {\displaystyle \operatorname {arccsc} \ (-x)=-\operatorname {arccsc} \ x}

Odwrotności argumentów:

arcsin   1 x = arccsc   x {\displaystyle \arcsin \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} \ x} arccos   1 x = arcsec   x {\displaystyle \arccos \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} \ x} arctg   1 x = arcctg   x   ;   x > 0 {\displaystyle \operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x\ ;\ x>0} arctg   1 x = arcctg   x π   ;   x < 0 {\displaystyle \operatorname {arctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcctg} \ x-\pi \ ;\ x<0} arcctg   1 x = arctg   x   ;   x > 0 {\displaystyle \operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x\ ;\ x>0} arcctg   1 x = arctg   x + π   ;   x < 0 {\displaystyle \operatorname {arcctg} \ {\frac {1}{x}}=\operatorname {arctg} \ x+\pi \ ;\ x<0} arcsec   1 x = arccos   x {\displaystyle \operatorname {arcsec} \ {\frac {1}{x}}=\arccos \ x} arccsc   1 x = arcsin   x {\displaystyle \operatorname {arccsc} \ {\frac {1}{x}}=\arcsin \ x}

Przykłady | edytuj kod

  • arcsin 0 = 0 {\displaystyle \arcsin \;0=0}
  • arcsin 1 2 = π 6 {\displaystyle \arcsin \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{6}}}
  • arcsin 1 = π 2 {\displaystyle \arcsin \;1={\frac {\pi }{2}}}
  • arccos 0 = π 2 {\displaystyle \arccos \;0={\frac {\pi }{2}}}
  • arccos 1 2 = π 3 {\displaystyle \arccos \;{\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}}
  • arccos ( 1 ) = π {\displaystyle \arccos \;(-1)=\pi }
  • arctg 0 = 0 {\displaystyle \operatorname {arctg} \;0=0}
  • arctg 1 = π 4 {\displaystyle \operatorname {arctg} \;1={\frac {\pi }{4}}}
  • arcctg 0 = π 2 {\displaystyle \operatorname {arcctg} \;0={\frac {\pi }{2}}}
  • arcctg 1 = π 4 {\displaystyle \operatorname {arcctg} \;1={\frac {\pi }{4}}}

Oto wykresy funkcji y = arcsin   x , {\displaystyle y=\arcsin \ x,} y = sin   x {\displaystyle y=\sin \ x} oraz prosta y = x . {\displaystyle y=x.} Wykresy obu funkcji są symetryczne względem tej prostej.

Analogicznie, wykresy funkcji y = arccos   x , {\displaystyle y=\arccos \ x,} y = cos   x {\displaystyle y=\cos \ x} są symetryczne względem prostej y = x . {\displaystyle y=x.}

Wykresy funkcji y = arctg   x , {\displaystyle y=\operatorname {arctg} \ x,} y = tg   x {\displaystyle y=\operatorname {tg} \ x} są symetryczne względem prostej y = x . {\displaystyle y=x.}

Wykresy funkcji y = arcctg   x , {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \ x,} y = ctg   x {\displaystyle y=\operatorname {ctg} \ x} są symetryczne względem prostej y = x . {\displaystyle y=x.}

Na podstawie artykułu: "Funkcje cyklometryczne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy