Energia kinetyczna


Energia kinetyczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Wagony kolejki górskiej mają największą wartość energii kinetycznej u dołu trasy. Podczas wznoszenia się, energia ta zamienia się w energię potencjalną grawitacji. Przy pominięciu oporów ruchu suma tych dwóch energii pozostaje stała.

Energia kinetyczna ( E k ) {\displaystyle (E_{k})} energia ciała związana z ruchem (po gr. κίνησις 'ruch') jego masy. Jednostką E k {\displaystyle E_{k}} jest dżul. W opisywalnych przez mechanikę klasyczną układach może dochodzić do przemian E k {\displaystyle E_{k}} w energię potencjalną ( E p ) {\displaystyle (E_{p})} i odwrotnie (przykładem takiego układu jest wahadło).

Sumę E k + E p {\displaystyle E_{k}+E_{p}} nazywamy energią mechaniczną. Jak wynika z zasady zachowania energii, E k + E p {\displaystyle E_{k}+E_{p}} jest stała w układzie idealnym. W szerszym ujęciu termodynamicznym, w przypadku gdy analizując zachowanie układu mechanicznego nie można zignorować strat E k {\displaystyle E_{k}} zachodzących np. w wyniku tarcia (z wydzieleniem ciepła, np. w przypadku tłoka), mówimy o rozproszeniu energii mechanicznej[1].

Spis treści

Mechanika klasyczna | edytuj kod

Dla ciała o masie m {\displaystyle m} i prędkości v {\displaystyle v} dużo mniejszej od prędkości światła w próżni ( v c , {\displaystyle v\ll c,} gdzie c {\displaystyle c} jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:

E k = 1 2 m v 2 . {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}.}

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

E k = 1 2 ω I ^ ω = 1 2 i j ω i I i j ω j , {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\mathbb {\omega } {\hat {I}}\mathbb {\omega } ={\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j},}

gdzie:

ω {\displaystyle \mathbb {\omega } } prędkość kątowa, I ^ = ( I i j ) {\displaystyle {\hat {I}}=(I_{ij})} tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

E k = 1 2 I ω 2 , {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},}

gdzie:

I {\displaystyle I} – odpowiedni moment bezwładności, ω {\displaystyle \mathbb {\omega } } prędkość kątowa.

Mechanika relatywistyczna | edytuj kod

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła w próżni (tzw. relatywistycznych) do obliczenia energii kinetycznej stosuje się ogólniejszy wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

E k = m γ c 2 m c 2 , {\displaystyle E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2},}

gdzie:

γ = 1 1 ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}

lub

E k = m c 2 ( γ 1 ) {\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left(\gamma -1\right)}

lub

E k = m c 2 ( 1 1 ( v c ) 2 1 ) . {\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}-1\right).}

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej v c {\displaystyle {\frac {v}{c}}}

1 1 ( v c ) 2 = 1 + 1 2 v 2 / c 2 + 3 8 v 4 / c 4 + {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots }

Zatem:

E k = m c 2 ( 1 2 v 2 / c 2 + 3 8 v 4 / c 4 + ) = 1 2 m v 2 + 3 8 m v 4 / c 2 + {\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\dots \right)={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}mv^{4}/c^{2}+\dots }

Dla prędkości v {\displaystyle v} małych w porównaniu z prędkością światła w próżni ( v c ) {\displaystyle (v\ll c)} można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

E k 1 2 m v 2 . {\displaystyle E_{k}\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}.}

Mechanika kwantowa | edytuj kod

 Zobacz też: operator energii całkowitej.

W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej T ^ . {\displaystyle {\hat {T}}.} W ramach nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, operator energii kinetycznej dla cząstki o masie m {\displaystyle m} ma postać:

T ^ = p ^ 2 2 m . {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.}

gdzie p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} jest operatorem pędu[2].

W obrazie drugiej kwantyzacji operator energii kinetycznej dla układu cząstek o relacji dyspersji ϵ k ν {\displaystyle \epsilon _{k\nu }} ma postać

T ^ = k ν ϵ k ν a k ν a k ν , {\displaystyle {\hat {T}}=\sum _{\mathbf {k} \nu }\epsilon _{\mathbf {k} \nu }a_{\mathbf {k} \nu }^{\dagger }a_{\mathbf {k} \nu },}

gdzie symbol ν {\displaystyle \nu } może oznaczać dowolny zbiór zmiennych (np. ν = { σ } {\displaystyle \nu =\{\sigma \}} dla spinu, lub ν = { σ , n } {\displaystyle \nu =\{\sigma ,n\}} dla spinu i pasma n {\displaystyle n} ).

Przypisy | edytuj kod

  1. Robert H., Jr. Connor: Dynamika układów fizycznych. Warszawa: WNT, 1973, s. 75–76.
  2. Równanie Schrödingera. W: Lew Landau, Jewgienij Lifszyc: Mechanika kwantowa. Teoria nierelatywistyczna. Warszawa: PWN, 1980.
Kontrola autorytatywna (forma energii):
Na podstawie artykułu: "Energia kinetyczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy