Czworościan foremny


Czworościan foremny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Czworościan foremny Przykładowe siatki czworościanu foremnego Kostka do gry w kształcie czworościanu (stosowana m.in. w grach fabularnych) siatka czworościanu foremnego z zakładkami umożliwiającymi sklejenie

Czworościan foremny (gr. tetraedr) – czworościan, którego ścianyprzystającymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu. Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu mają postać (1, 1, 1), (–1, –1, 1), (–1, 1, –1) i (1, –1, –1).

Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu. Suma mnogościowa tych dwóch czworościanów tworzy wielościan zwany stella octangula, a ich część wspólna tworzy ośmiościan foremny.

Czworościany foremne wraz z ośmiościanami foremnymi wystarczą do wypełnienia całej przestrzeni[1]. Ścinając wszystkie wierzchołki czworościanu w 1/3 długości krawędzi uzyskujemy wielościan półforemny o nazwie czworościan ścięty.

Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o krawędzi długości a : {\displaystyle a:\,}

S = 3   a 2 1 , 7321   a 2 . {\displaystyle S={\sqrt {3}}~a^{2}\approx 1,7321~a^{2}.}

Objętość:

V = 2 12   a 3 0 , 1179   a 3 . {\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}~{a^{3}}\approx 0,1179~a^{3}.}

Wysokość czworościanu foremnego, czyli odległość od dowolnego wierzchołka do środka przeciwległej ściany:

h = a   24 6 = 6 3   a 0 , 8165   a . {\displaystyle h=a~{\frac {\sqrt {24}}{6}}={\frac {\sqrt {6}}{3}}~a\approx 0,8165~a.}

Miara kąta nachylenia krawędzi do ściany, w której krawędź się nie zawiera:

α = arcsin 6 3 54 , 7356 . {\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 54,7356^{\circ }.}

Promień kuli opisanej:

R = 6 4   a 0 , 6124   a . {\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}~a\approx 0,6124~a.}

Promień kuli wpisanej:

r = 6 12   a 0 , 2041   a . {\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{12}}~a\approx 0,2041~a.}

Miara kąta między ścianami:

β = arcsin 8 3 70 , 53 . {\displaystyle \beta =\arcsin {\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 70,53^{\circ }.}

Stosunek objętości kuli opisanej do kuli wpisanej w ten sam czworościan foremny: 27:1

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Arystoteles błędnie sądził, że wystarczą czworościany
Na podstawie artykułu: "Czworościan foremny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy