Ciąg Fibonacciego


Ciąg Fibonacciego w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii To jest najnowsza wersja przejrzana, która została oznaczona 17 lut 2019. Od tego czasu wykonano 4 zmiany, które oczekują na przejrzenie. Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Wykres funkcji dla pierwszych ośmiu wyrazów ciągu Fibonacciego ( F 0 F 7 ) {\displaystyle (F_{0}\dots F_{7})}

Ciąg Fibonacciegociąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

Formalnie:

F n := { 0 dla  n = 0 , 1 dla  n = 1 , F n 1 + F n 2 dla  n > 1. {\displaystyle F_{n}:={\begin{cases}0&{\text{dla }}n=0,\\1&{\text{dla }}n=1,\\F_{n-1}+F_{n-2}&{\text{dla }}n>1.\end{cases}}}

Kolejne wyrazy tego ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego. Zaliczanie zera do elementów ciągu Fibonacciego zależy od umowy – część autorów definiuje ciąg od F 1 = F 2 = 1 {\displaystyle F_{1}=F_{2}=1} [1].

Pierwsze dwadzieścia wyrazów ciągu Fibonacciego to:

Ciąg został omówiony w roku 1202 przez Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, w dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazwę „ciąg Fibonacciego” spopularyzował w XIX w. Édouard Lucas[2].

Spis treści

Wzór Bineta | edytuj kod

Jawny wzór na n {\displaystyle n} -ty wyraz ciągu Fibonacciego podany w 1843 r. przez J.P.M. Bineta możemy otrzymać, korzystając z metody funkcji tworzących.

Niech

f n = F n + 1 . {\displaystyle f_{n}=F_{n+1}.}

Funkcja tworząca dla tego ciągu ma postać

s ( x ) = n = 0 f n x n . {\displaystyle s(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}.}

Podstawiając f n = f n 1 + f n 2 , {\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2},} otrzymujemy:

s ( x ) = 1 + x + n = 2 ( f n 2 + f n 1 ) x n = 1 + x + x 2 n = 2 f n 2 x n 2 + x n = 2 f n 1 x n 1 = 1 + x + x 2 s ( x ) + x ( s ( x ) 1 ) = 1 + x s ( x ) + x 2 s ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=1+x+\sum _{n=2}^{\infty }\left(f_{n-2}+f_{n-1}\right)x^{n}\\&=1+x+x^{2}\sum _{n=2}^{\infty }f_{n-2}x^{n-2}+x\sum _{n=2}^{\infty }f_{n-1}x^{n-1}\\&=1+x+x^{2}s(x)+x(s(x)-1)=1+xs(x)+x^{2}s(x).\end{aligned}}}

W szczególności,

s ( x ) = 1 1 x x 2 . {\displaystyle s(x)={\frac {1}{1-x-x^{2}}}.}

Wyrażenie 1 1 x x 2 {\displaystyle {\frac {1}{1-x-x^{2}}}} można przedstawić w prostszej postaci, mianowicie:

1 1 x x 2 = A / ( 1 a x ) + B / ( 1 b x ) , {\displaystyle {\frac {1}{1-x-x^{2}}}=A/(1-ax)+B/(1-bx),}

gdzie:

a = 1 + 5 2 , {\displaystyle a={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},} b = 1 5 2 , {\displaystyle b={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}},} A = a a b , {\displaystyle A={\frac {a}{a-b}},} B = b a b . {\displaystyle B={\frac {-b}{a-b}}.}

Wówczas:

s ( x ) = A n = 0 a n x n + B n = 0 b n x n = n = 0 ( a n + 1 b n + 1 ) ( a b ) x n , {\displaystyle s(x)=A\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}x^{n}+B\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a^{n+1}-b^{n+1})}{(a-b)}}x^{n},}

a stąd:

f n = ( a n + 1 b n + 1 ) ( a b ) . {\displaystyle f_{n}={\frac {(a^{n+1}-b^{n+1})}{(a-b)}}.}

Ponieważ F n = f n 1 , {\displaystyle F_{n}=f_{n-1},} wyprowadzony został ostatecznie tzw. wzór Bineta zwany czasem wzorem Eulera-Bineta:

F n = 1 5 ( 1 + 5 2 ) n 1 5 ( 1 5 2 ) n . {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.}

Ponieważ drugi człon tego wyrażenia szybko zbiega do zera

F n 1 5 ( 1 + 5 2 ) n . {\displaystyle F_{n}\approx {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.}

Znaczenia kombinatoryczne | edytuj kod

  • liczba ciągów o wyrazach równych 1 lub 2, które sumują się do liczby n , {\displaystyle n,} jest równa F n + 1 , {\displaystyle F_{n+1},}
  • liczba pokryć planszy 2 × n {\displaystyle 2\times n} kostkami domina 2 × 1 {\displaystyle 2\times 1} jest równa F n + 1 , {\displaystyle F_{n+1},}
  • liczba ciągów binarnych bez kolejnych jedynek (równoważnie zer) jest równa F n + 2 , {\displaystyle F_{n+2},}
  • liczba podzbiorów zbioru { 1 , , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} bez kolejnych liczb jest równa F n + 2 , {\displaystyle F_{n+2},}
  • liczba ciągów binarnych bez nieparzystej długości ciągów jedynek jest równa F n + 1 , {\displaystyle F_{n+1},}
  • liczba ciągów binarnych bez parzystej długości ciągów zer lub jedynek jest równa 2 F n . {\displaystyle 2F_{n}.}

Własności | edytuj kod

Sumy wyrazów tworzące ciąg Fibonacciego na trójkącie Pascala.

Można też wyrazić wartości kolejnych elementów ciągu za pomocą symbolu Newtona:

F n = k = 1 n + 1 2 ( n k k 1 ) {\displaystyle F_{n}=\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{n-k \choose k-1}}

Zachodzą równości:

k = 1 n F k = F n + 2 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1} i = 0 n i F i = n F n + 2 F n + 3 + 2 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}iF_{i}=nF_{n+2}-F_{n+3}+2} Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego k = 1 n F k 2 = F n + 1 F n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{k}^{2}=F_{n+1}F_{n}} (równanie ilustruje rysunek) k = 1 n F k 3 = ( F 3 n + 2 + ( 1 ) n + 1 6 F n 1 + 5 ) / 10 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{k}^{3}=(F_{3n+2}+(-1)^{n+1}6F_{n-1}+5)/10} F 2 n = F n + 1 2 F n 1 2 {\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}} F 2 n 1 = F n 2 + F n 1 2 {\displaystyle F_{2n-1}=F_{n}^{2}+F_{n-1}^{2}} F n + 1 F n 1 F n 2 = ( 1 ) n , {\displaystyle F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n},} tzw. zależność Cassiniego (1680)[3], która leży u podstaw zagadki brakującego kwadratu[4] oraz uogólniona wersja: F n 2 F n r F n + r = ( 1 ) n r F r 2 , {\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2},} tzw. zależność Catalana[5] F n + 1 F m + F n F m 1 = F m + n {\displaystyle F_{n+1}F_{m}+F_{n}F_{m-1}=F_{m+n}} i = 0 n 1 F 2 i + 1 = F 2 n {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}} i = 1 n F 2 i = F 2 n + 1 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1} i = 1 n ( 1 ) i + 1 F i = ( 1 ) n + 1 F n 1 + 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}F_{i}=(-1)^{n+1}F_{n-1}+1} k = 0 n 1 ( n k ) F n k = F 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}F_{n-k}=F_{2n}} [6] i = 1 n j = 1 n ( n i j ) ( n j i ) = F 2 n + 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{n-i \choose j}{n-j \choose i}=F_{2n+2}}

Dowód: W zapisie 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} jako sumy jedynek i dwójek jest nieparzysta liczba jedynek. Lewa strona równości stanowi zliczanie liczby zapisów 2 n + 1 , {\displaystyle 2n+1,} w którym parametry i {\displaystyle i} i j {\displaystyle j} odpowiadają liczbie dwójek po prawej i lewej stronie środkowej jedynki.

Kilka mniej znanych twierdzeń na temat ciągu Fibonacciego:

  • Z wyjątkiem jednocyfrowych liczb ciągu Fibonacciego zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym.
  • Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 0, 1 i 144[potrzebny przypis].
  • Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer n {\displaystyle n} dzieli się przez k , {\displaystyle k,} to liczba F n {\displaystyle F_{n}} dzieli się przez F k . {\displaystyle F_{k}.} Dokładniej:
Jeśli n = m q , {\displaystyle n=mq,} to: F n = F m j = 1 q F m 1 j 1 F n j m + 1 . {\displaystyle F_{n}=F_{m}\sum _{j=1}^{q}F_{m-1}^{j-1}F_{n-jm+1}.}

Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb: gcd ( F m , F n ) = F gcd ( m , n ) {\displaystyle \gcd(F_{m},\,F_{n})=F_{\gcd(m,\,n)}\dots }

  • Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego.
  • Istnieje nieskończenie wiele liczb n , {\displaystyle n,} dla których zachodzi podzielność n | F n . {\displaystyle n|F_{n}.} W szczególności można pokazać, że jeśli m N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } to 5 m | F 5 m . {\displaystyle 5^{m}|F_{5^{m}}.}

Obliczanie liczb Fibonacciego | edytuj kod

Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. Wynika to z tego, że definicja F n {\displaystyle F_{n}} wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru n {\displaystyle n} musi mieć co najmniej F n {\displaystyle F_{n}} liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność.

Istnieje równie prosta i znacznie szybsza metoda. Obliczamy wartości ciągu po kolei: F 0 , {\displaystyle F_{0},} F 1 , {\displaystyle F_{1},} F 2 {\displaystyle F_{2}} i tak aż do F n , {\displaystyle F_{n},} za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie trzeba nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości, ponieważ wystarczą dwie ostatnie. Daje to złożoność liniową – o wiele lepszą od wykładniczej złożoności poprzedniej metody. Metoda ta może być postrzegana jako zastosowanie programowania dynamicznego.

 Fibonacci( n ) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 f' ← 0 f ← 1 for i ← 2 to n do m ← f + f' f' ← f f ← m end return f 

Macierze liczb Fibonacciego | edytuj kod

Można zrobić to jeszcze szybciej dzięki zależności:

F n + 2 F n + 1 F n + 1 F n 1 1 1 0 = F n + 3 F n + 2 F n + 2 F n + 1 . {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+2}&F_{n+1}\\F_{n+1}&F_{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{n+3}&F_{n+2}\\F_{n+2}&F_{n+1}\end{bmatrix}}.}

Ponieważ równocześnie:

1 1 1 0 = F 2 F 1 F 1 F 0 , {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{2}&F_{1}\\F_{1}&F_{0}\end{bmatrix}},}

to indukcyjnie:

1 1 1 0 n = F n + 1 F n F n F n 1 , n 1 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}},\quad n\geqslant 1}

lub w notacji wektorowej

F n + 1 F n = 1 1 1 0 n × F 1 F 0 . {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}\times {\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{0}\end{bmatrix}}.}

A ponieważ potęgowanie macierzy dla naturalnego wykładnika potęgi można przeprowadzić bardzo wydajnie algorytmem szybkiego potęgowania, możemy wyliczyć dowolny wyraz ciągu Fibonacciego z kosztem logarytmicznym względem n , {\displaystyle n,} tzn. obliczenie F n {\displaystyle F_{n}} wymaga ilości mnożeń Θ ( log n ) {\displaystyle \Theta (\log n)} (symbol Θ {\displaystyle \Theta } oznacza asymptotyczne tempo wzrostu).

Graficzna reprezentacja dwójkowa | edytuj kod

Ciąg Fibonacciego w systemie dwójkowym

Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony, to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się („czubek” pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu – pojawia się nad nim „biały trójkąt”), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki – czarnymi.

Złota liczba | edytuj kod

Granica ciągu:

F ( n + 1 ) F ( n ) , {\displaystyle {\frac {F(n+1)}{F(n)}},}

czyli ilorazów sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego, to tzw. złota liczba lub złota proporcja definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania:

x 1 = 1 x 1 {\displaystyle {\frac {x}{1}}={\frac {1}{x-1}}} lub równoważnego x = 1 + 1 x , {\displaystyle x=1+{\frac {1}{x}},}

czyli

lim n F ( n + 1 ) F ( n ) = ϕ , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F(n+1)}{F(n)}}=\phi ,} φ = 1 + 5 2 1,618 03 39887 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}61803\,39887\ldots }

Dowód | edytuj kod

Taka granica istnieje, gdyż ten ciąg jest nierosnący i ograniczony z dołu przez 0. Teraz należy wyłącznie ją obliczyć.

x = lim n F ( n + 1 ) F ( n ) = lim n F ( n ) + F ( n 1 ) F ( n ) = lim n ( F ( n ) F ( n ) + F ( n 1 ) F ( n ) ) = 1 + lim n F ( n 1 ) F ( n ) = 1 + 1 lim n F ( n ) F ( n 1 ) = 1 + 1 x . {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\lim _{n\to \infty }{\frac {F(n+1)}{F(n)}}}\\[.2em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {F(n)+F(n-1)}{F(n)}}\\[.2em]&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {F(n)}{F(n)}}+{\frac {F(n-1)}{F(n)}}\right)\\[.2em]&=1+\lim _{n\to \infty }{\frac {F(n-1)}{F(n)}}\\[.2em]&=1+{\frac {1}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F(n)}{F(n-1)}}}}\\[.2em]&=1+{\frac {1}{x}}.\end{aligned}}}

Jest ona także pierwiastkiem wielomianu x 2 x 1 {\displaystyle x^{2}-x-1} oraz równania x + x 2 = 2. {\displaystyle x+x^{-2}=2.}

W powyższym dowodzie informacja o początkowych wyrazach ciągu, czy też jakichkolwiek innych, nie była wykorzystywana, dlatego dla dowolnego ciągu

G n := G ( n ) := { a dla  n = 0 , b dla  n = 1 , G ( n 1 ) + G ( n 2 ) dla  n > 1. {\displaystyle G_{n}:=G(n):={\begin{cases}a&{\text{dla }}n=0,\\b&{\text{dla }}n=1,\\G(n-1)+G(n-2)&{\text{dla }}n>1.\end{cases}}}

zachodzi wzór: G n = a F n 1 + b F n . {\displaystyle G_{n}=a\cdot F_{n-1}+b\cdot F_{n}.} Czasem taki ciąg G również nazywany jest ciągiem Fibonacciego lub uogólnionym ciągiem Fibonacciego.

Jeżeli, a i b nie są równocześnie zerami, to granica ciągu ( G ( n + 1 ) G ( n ) ) n N {\displaystyle \left({\frac {G(n+1)}{G(n)}}\right)_{n\in \mathbb {N} }} jest taka sama jak dla oryginalnego ciągu Fibonacciego.

Kolejne wyrazy ciągu: F ( n + 1 ) F ( n ) {\displaystyle {\frac {F(n+1)}{F(n)}}} są także wartością n {\displaystyle n} -tego odcinka ułamka łańcuchowego: φ = 1 ; 1 , 1 , 1 , = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + , {\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}},}

wartościami kolejnych odcinków są liczby:

1 1 = 1 2 1 = 1 + 1 1 3 2 = 1 + 1 1 + 1 1 5 3 = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 8 5 = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 {\displaystyle {\cfrac {1}{1}}=1\qquad {\cfrac {2}{1}}=1+{\cfrac {1}{1}}\qquad {\cfrac {3}{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1}}}}\qquad {\cfrac {5}{3}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1}}}}}}\qquad {\cfrac {8}{5}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1}}}}}}}}}

Liczby pierwsze w ciągu Fibonacciego | edytuj kod

 Osobny artykuł: liczba pierwsza Fibonacciego.

Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to także liczby pierwsze[7], a mianowicie: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229. Wydaje się prawdopodobne, że liczb pierwszych w ciągu Fibonacciego istnieje nieskończenie wiele, lecz problem ten jak dotąd nie doczekał się rozstrzygnięcia.

Pokrewne ciągi | edytuj kod

Ciąg Lucasa | edytuj kod

Ciąg Lucasa jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego, definiujemy go

L n := L ( n ) := { 2 dla  n = 0 , 1 dla  n = 1 , L ( n 1 ) + L ( n 2 ) dla  n > 1. {\displaystyle L_{n}:=L(n):={\begin{cases}2&{\text{dla }}n=0,\\1&{\text{dla }}n=1,\\L(n-1)+L(n-2)&{\text{dla }}n>1.\end{cases}}}

Zachodzą równości:

L n = F n 1 + F n + 1 {\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}} F n = 1 5 ( L n 1 + L n + 1 ) . {\displaystyle F_{n}={\tfrac {1}{5}}(L_{n-1}+L_{n+1}).} F n + 1 = 1 2 ( F n + L n ) . {\displaystyle F_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(F_{n}+L_{n}).} F 2 n = F n L n . {\displaystyle F_{2n}=F_{n}L_{n}.} F m + n = 1 2 ( F m L n + F n L m ) . {\displaystyle F_{m+n}={\tfrac {1}{2}}(F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m}).} F m n = 1 2 ( 1 ) n ( F m L n F n L m ) . {\displaystyle F_{m-n}={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n}(F_{m}L_{n}-F_{n}L_{m}).}

Ciąg „Tribonacciego” | edytuj kod

Różni się od ciągu Fibonacciego tym, że każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich trzech wyrazów zamiast dwóch[8].

Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890...

Stała „Tribonacciego” jest granicą ciągu: T ( n + 1 ) T ( n ) {\displaystyle {\frac {T(n+1)}{T(n)}}} (gdzie T ( n ) {\displaystyle T(n)} jest n {\displaystyle n} -tym wyrazem ciągu „Tribonacciego”), czyli analogiem złotej liczby dla ciągu Fibonacciego. Jest ona pierwiastkiem wielomianu x 3 x 2 x 1 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1} oraz równania x + x 3 = 2 {\displaystyle x+x^{-3}=2} i wynosi ok. 1,83929.

Ciąg „Tetranacciego” | edytuj kod

Różni się od ciągu Fibonacciego tym, każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich czterech wyrazów zamiast dwóch[9].

Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569...

Stała „Tetranacciego” jest granicą ciągu: T ( n + 1 ) T ( n ) {\displaystyle {\frac {T(n+1)}{T(n)}}} (gdzie T ( n ) {\displaystyle T(n)} jest n {\displaystyle n} -tym wyrazem ciągu „Tetranacciego”). Jest ona pierwiastkiem wielomianu x 4 x 3 x 2 x 1 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1} oraz równania x + x 4 = 2 {\displaystyle x+x^{-4}=2} i wynosi ok. 1,92756.

Słowa Fibonacciego | edytuj kod

 Osobny artykuł: Słowa Fibonacciego.

Ciąg słów Fibonacciego to ciąg słów

F n = { b dla  n = 1 , a dla  n = 2 , F n 1 F n 2 dla  n > 2 ,  gdzie   oznacza sklejenie ciagow {\displaystyle F_{n}={\begin{cases}b&{\text{dla }}n=1,\\a&{\text{dla }}n=2,\\F_{n-1}\cdot F_{n-2}&{\text{dla }}n>2,{\text{ gdzie }}\cdot {\text{ oznacza sklejenie ciagow}}\end{cases}}}

Ciąg Fibonacciego w biologii | edytuj kod

W kształtach wielu roślin widać linie spiralne. Na przykład na owocu ananasa 8 takich linii biegnie w jedną stronę, a 5 lub 13 w przeciwną. Na tarczy słonecznika może się krzyżować 55 spiral z 89 (liczby te bywają większe). Również różyczki kalafiora ułożone są spiralnie.

U większości roślin takie organy jak łodyga, liście czy kwiaty rozwijają się z małego, centralnie usytuowanego skupiska komórek – merystemu. Każdy zawiązek nowego organu (zwany primordium) wyrasta z merystemu w innym kierunku, pod pewnym kątem w stosunku do zawiązka, który pojawił się wcześniej. Okazuje się, że u wielu roślin ten kąt jest taki sam i że to właśnie dzięki niemu powstają wspomniane linie spiralne. Ten kąt to w przybliżeniu 137,5 stopnia (jest to tak zwany „Złoty kąt”). „Złotego kąta” nie da się wyrazić ułamkiem zwykłym. Jego dopełnienie do 360 stopni wynosi w przybliżeniu 5/8 kąta pełnego, dokładniej jest to 8/13 kąta pełnego, jeszcze dokładniej 13/21 i tak dalej (oparcie na liczbach Fibonacciego), ale żaden ułamek zwykły nie odpowiada mu ściśle.

Kiedy pojawiają się kolejne zawiązki, to jeśli każdy następny utworzy z poprzednim wspomniany „złoty kąt”, nigdy nie dojdzie do tego, by dwa z nich (lub więcej) rozwijały się w tym samym kierunku. Dzięki temu organy nie wyrastają z merystemu promieniście, lecz układają się w linie spiralne.

Ciąg Fibonacciego w muzyce | edytuj kod

Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. Zależności takie występują w utworach muzycznych – najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai[10] wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka, przede wszystkim w Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę, gdzie w cz. I kolejne odcinki formy zaczynają się w następującym porządku:

  • zakończenie ekspozycji – t. 21,
  • początek stretto – t. 34,
  • kulminacja części – t. 55,
  • koniec części – t. 89.

W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Szczególnie często sięgali do niego kompozytorzy stosujący technikę serialną, np.: Karlheinz Stockhausen Klavierstück IX, Luigi Nono Il canto sospeso, Christobal Halffter Fibonacciana[11]. Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta, a kolejne odcinki różnią się obsadą. I tak np.:

  • kolejne odcinki grane przez fortepian mają długość: 89, 55, 34, 21, 13 ćwierćnut,
  • wszystkie instrumenty razem grają: 21, 34, 55, 89, 144 ćwierćnut[12].

Ciąg Fibonacciego używany jest też przez twórców spoza muzyki klasycznej, np. zespół Tool wykonujący muzykę z pogranicza rocka i metalu progresywnego w albumie Lateralus w tytułowym utworze użył ciągu Fibonacciego do stworzenia linii wokalnej.

Ciąg Fibonacciego w literaturze | edytuj kod

Motyw ciągu Fibonacciego wykorzystany został także w utworach literackich. W książce Kod Leonarda da Vinci Dana Browna stanowi on element jednego z kodów, który muszą złamać główni bohaterowie. W powieści Gniazdo światów Marka Huberatha ciąg Fibonacciego jest podstawą struktury wszechświata, na której oparte są kolejne jego poziomy.

Przypisy | edytuj kod

  1. Zero jest zaliczane do ciągu Fibonacciego np. w książce Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: PWN, 1974, s. 16, seria: BM 16. Nie jest natomiast zaliczane do ciągu Fibonacciego w Wielkiej Encyklopedii Powszechnej PWN, 1964, tom 3, s. 636, link.
  2. Andrzej Lenda „Liczby Fibonacciego”.
  3. Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: PWN, 2006, s. 326.
  4. Martin Gardner: Mathematics Magic and Mystery. Nowy York: Dover Publications, Inc., 1956.
  5. Harold Scott MacDonald Coxeter: Wstęp do geometrii starej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  6. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Teoria liczb, algebra i elementy analizy matematycznej. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2005, s. 206–207. ISBN 83-86007-21-4.
  7. A005478.
  8. A000073.
  9. A000078.
  10. Lendvai, Ernő (1971). Béla Bartók: An Analysis of His Music. London: Kahn and Averill.
  11. B. Schaeffer, Mały informator muzyki XX wieku, Kraków 1975, s. 121.
  12. T. Weselmann, Musica incrostata, Poznań 2003, s. 58–60.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (constant-recursive sequence):
Na podstawie artykułu: "Ciąg Fibonacciego" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy