Brzeg (matematyka)


Brzeg (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Zbiór (jasnoniebieski) wraz z jego brzegiem (ciemnoniebieski).

Brzeg – intuicyjnie, zbiór punktów „granicznych” danego zbioru.

Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie matematycznej pochodne funkcji rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczącym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire’a.

Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Punkt B jest punktem brzegowym jasnozielonego zbioru, gdyż dowolne jego otoczenie (w szczególności błękitna kula o środku w tym punkcie) zawiera punkty należące do zbioru, jak i spoza niego.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna X {\displaystyle X} oraz zawarty w niej zbiór A X {\displaystyle A\subset X} .

Brzegiem b d A {\displaystyle \mathrm {bd} \;A} zbioru A {\displaystyle A} nazywa się zbiór

b d   A = c l   A c l   A c , {\displaystyle \mathrm {bd} \ A=\mathrm {cl} \ A\cap \mathrm {cl} \ A^{\mathrm {c} },}

lub równoważnie

b d   A = c l   A i n t   A . {\displaystyle \mathrm {bd} \ A=\mathrm {cl} \ A\setminus \mathrm {int} \ A.}

gdzie c l   A {\displaystyle \mathrm {cl} \ A} oraz i n t   A {\displaystyle \mathrm {int} \ A} oznaczają odpowiednio domknięcie i wnętrze zbioru A {\displaystyle A} , zaś A c {\displaystyle A^{\mathrm {c} }} jego dopełnienie.

Obok oznaczenia b d A {\displaystyle \mathrm {bd} \;A} stosuje się też f r A ,   A {\displaystyle \mathrm {fr} \;A,\ \partial A} (od ang. boundary, frontier).

Punkty brzegu nazywa się punktami brzegowymi i z definicji wynika, że punkty brzegowe są to te punkty, których dowolne otoczenie zawiera punkty należące zarówno do A , {\displaystyle A,} jak i jego dopełnienia A c {\displaystyle A^{\mathrm {c} }} .

Własności | edytuj kod

Wprost z definicji wynika, że brzeg zbioru jest:

  • równy brzegowi jego dopełnienia, b d   A = b d   A c , {\displaystyle \mathrm {bd} \ A=\mathrm {bd} \ A^{\mathrm {c} },}
  • zawarty w domknięciu tego zbioru, b d   A c l   A , {\displaystyle \mathrm {bd} \ A\subseteq \mathrm {cl} \ A,}
  • zbiorem domkniętym, b d   A = c l ( b d   A ) . {\displaystyle \mathrm {bd} \ A=\mathrm {cl} (\mathrm {bd} \ A).}

Domknięcie jest sumą zbioru i jego brzegu,

c l   A = A b d   A , {\displaystyle \mathrm {cl} \ A=A\cup \mathrm {bd} \ A,}

więcej: zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg oraz otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg zbioru jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty; mówi się wtedy, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiór o pustym wnętrzu nazywa się zbiorem brzegowym.

Dla dowolnego zbioru A {\displaystyle A} zachodzi

b d   A b d ( b d   A ) , {\displaystyle \mathrm {bd} \ A\supseteq \mathrm {bd} (\mathrm {bd} \ A),}

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A {\displaystyle A} jest brzegowy (co ma miejsce np. wtedy, gdy A {\displaystyle A} jest otwarty lub domknięty). Ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, to

b d ( b d   A ) = b d ( b d ( b d   A ) ) {\displaystyle \mathrm {bd} (\mathrm {bd} \ A)=\mathrm {bd} {\bigl (}\mathrm {bd} (\mathrm {bd} \ A){\bigr )}}

dla dowolnego zbioru A , {\displaystyle A,} czyli operator brzegu b d {\displaystyle \mathrm {bd} } spełnia pewną słabszą postać idempotentności.

Przykłady | edytuj kod

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach od 1 do 6.

Niech R {\displaystyle \mathbb {R} } oznacza zbiór liczb rzeczywistych z jego naturalną topologią. Wówczas

  • b d   R = b d   = , {\displaystyle \mathrm {bd} \ \mathbb {R} =\mathrm {bd} \ \varnothing =\varnothing ,}
  • b d   ( 0 , 5 ) = b d   0 , 5 ) = b d   ( 0 , 5 = { 0 , 5 } , {\displaystyle \mathrm {bd} \ (0,5)=\mathrm {bd} \ [0,5)=\mathrm {bd} \ (0,5]=\{0,5\},}
  • b d   { 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , } = { 0 , 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , } , {\displaystyle \mathrm {bd} \ \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots \right\}=\left\{0,1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots \right\},}
  • b d   Q = b d   Q c = R . {\displaystyle \mathrm {bd} \ \mathbb {Q} =\mathrm {bd} \ \mathbb {Q} ^{\mathrm {c} }=\mathbb {R} .}

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być nadzbiorem danego zbioru.

Pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni: w naturalnej topologii przestrzeni euklidesowej R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} brzegiem koła

B 2 = { ( x , y ) R 2 : x 2 + y 2 1 } {\displaystyle B_{2}={\bigl \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}\leqslant 1{\bigr \}}}

jest okrąg

C 2 = { ( x , y ) R 2 : x 2 + y 2 = 1 } , {\displaystyle C_{2}={\bigl \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1{\bigr \}},}

jednak zanurzenie koła B 2 {\displaystyle B_{2}} w R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} jest zbiorem brzegowym, natomiast w topologii R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} zrelatywizowanej do B 2 {\displaystyle B^{2}} zbiór ten nie ma brzegu.

W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Zobacz też | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Brzeg (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy